代數數論
在數學中，代數數論（）是數論的一支，在这个数学分支中，「數」的概念延伸到代数数上，以解決具體的數論問題。這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。依照同样的动机，整數可以被推广为為代數整數，然后研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇…
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共 23 篇文章
P進賦值
\boldsymbol{p}進賦值是數論中能整除正整數n的質數p的最高次方，一般記做\nu_p(n)，等價於n的質因數分解中p的次方數。此概念可被延伸至有理數。 p進賦值是一種賦值，可導出對應的p進絕對值。正如有理數經常規絕對值完備化可得到實數\mathbb{R}，經p進絕對值完備化後，則可得到p進數\mathbb{Q}_p。 定義 進賦值 給定質數p，定義函數 \nu_p:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup …
二次域
在代數數論中，二次域是在有理數域\mathbb{Q}上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成\mathbb{Q}(\sqrt{d})，其中d無平方數因數。若d>0，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於\mathbb{Q}( \sqrt{d})是否為全實域 二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。 整數環與判別式 二次域K := \m…
代數整數
在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某個整系數的首一多項式P(x)的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。 因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作\mathbb{A}。 如果P(x)是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則P的根都不是代數整數。 定义 以下是代数整数…
抽象解析数论
抽象解析数论（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。 算术半群 该理论涉及到一个基本概念，算术半群，是满足以下性质的交换幺半群G： G有一个可数子集P，使得G中的每个元素a \neq 1有唯一分解a=p_…
朗蘭茲綱領
朗蘭茲綱領（Langlands program）是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論；綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給安德烈·韦伊的信件中提出。 朗蘭茲綱領被廣泛視為現代數學研究中最大的單項項目，被描述為“數學的一種大統一理論”。 起源：數論 我们可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數，…
二次互反律的证明
这个条目给出了二次互反律的证明。 二次互反律的叙述 对于两个奇素数p,q，\left( \frac{p}{q} \right) \cdot \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{ (p-1)(q-1) }{4} }。其中，\left( \frac{p}{q} \right)是勒让德符号。 证明一 设p是一个奇素数并且a\not\equiv0\mod p。对于每个k=1,2,...,\frac{…
德林費爾德模
在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。 俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。 弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的…
类数公式
在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的赋值。 类数公式的一般性陈述 数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2, r_1 为 K的实素点个数,2r_2 为 K的复素点个数. K戴德金zeta函数记为: \zeta_K(s) \, 则有下列不变量： h_K 为K的理想类群的阶 \operatorname{Reg}_K K的素点 w_K 为K的单位根个数 D_K 为K在K/Q扩张的判别式 *定理1（类数公式）数域 K …
二次互反律
在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程x^2 \equiv p \pmod q 之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程x^2 \equiv p \pmod q 可解和 x^2 \equiv q \pmod p 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际…
理想類群
理想類群（）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。 一個代数数域的理想类群是形如 的商群; 此处 是代数数域的整数环的所有分式理想构成的群; 而是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。 理想类群在一定程度上可以测量的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。 形式定義 設 \mathcal{O} 為戴…
希爾伯特第九問題
希爾伯特第九問題是希爾伯特的23個問題的一個問題，要在一般代数数域中找到可以對應k階範式剩餘的互反律，其中k為質數，而範式剩餘是利用希爾伯特符號計算。 進展 在此問題的求解上，已有一些進展，但還沒完全解決。奧地利數學家埃米爾·阿廷（1924; 1927; 1930）發現了處理代数数域下的。赫爾穆特·哈斯不但發現了更一般性的哈塞互反律，他和高木貞治的貢獻也帶動了類域論的發展，用抽象的方式來處理希爾伯特符號。後來（1948; 1949; 1…
狄利克雷特徵
在解析數論及代數數論中，狄利克雷特徵是一種算術函數，是 \mathbb Z / n \mathbb Z 的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。 定義 狄利克雷特徵指有下面性質、由整數到複數的函數： 存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k) 對於任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n) χ(1)=1 首個條件說明特徵是一個以k為周期的函數，其餘兩個條件說明它是完全積性函數…
哈瑟原則
在數學裡，赫爾姆特·哈瑟的局部-全域原則，或稱為哈瑟原則，是一個表示「一個方程可以在有理數上被解若且唯若它可以在實數上『及』在每個質數p之p進數上被解」的原則。 表示0的型 二次型 哈瑟-閔可夫斯基定理描述著局部-全域原則會由在有理數上之二次型來表示0的問題中成立(由閔可夫斯基證出)；且更一般性地，會在任何一個數域上成立(由哈瑟證出)，其中使用了所有合適的局部域的必要條件。循環擴張上的哈瑟定理描述著局部-全域原則可以應用在數域循環擴張之…
戴德金整環
在環論中，戴德金整環是戴德金為了彌補一般數域中算術基本定理的空缺而引入的概念。在戴德金整環中，任意理想可以唯一地分解成素理想之積。 定義 戴德金整環指的是有乘法單位元素 1，並具備下述性質的交換諾特整環 A： A 不是域。 A 的非零素理想皆為極大理想。 A 整閉。 前兩條可合併為：A 之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下： A 對任意極大理想之局部化為離散賦值環。 A 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 0 \neq I \sub…
三次互反律
在数学中，三次互反律是关于模代数中两个对应的三次方程的可解性之间的关系的结论和定理。 相关术语 三次互反律最常使用艾森斯坦整数进行表述。艾森斯坦整数是指由形如 a + b\,\omega 的复数组成的环，记作 \mathbb{E}。其中 a 和 b 是整数，\omega 为三次单位根： :\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3} 定理 如果 \pi 是\mathbb{E}中范数…
全實域
在代數數論中，若數域 K 的每個嵌入 \sigma: K \to \mathbb{C} 的像都落在實數域 \mathbb{R}，則稱 K 為-{zh-cn:全实域或全实数域; zh-tw:全實數體;}-。 若 K 可表為 K=\mathbb{Q}(\alpha)，設 \alpha 在 \mathbb{Q} 上的的極小多項式為 P(X)，則嵌入映射 \sigma: K \to \mathbb{C} 透過 \sigma \mapsto \s…
基本单位 (数论)
在代数数论，基本单位，是数域中代数整数环的生成元（即模单位根），可理解为单位群模其扭子群是个无限循环群。狄利克雷单位定理表明：rank=1的有实二次域，复三次域，完全四元数域。 随时代发展，当对rank ≥1基本单位也被有些作者叫基本单位系，rank=1时的才基本单位，这只是基本单位系的一个系元. 实二次域 实二次域K=\mathbf{Q}(\sqrt{d})（d无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是： :\epsil…
局部域
在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。 非阿基米德局部域 設F為非阿基米德局部域，而|\cdot|為其絕對值。關鍵在下述對象： 閉單位球：\{a\in F: |a|\leq 1\}，或其整數環\mathcal{O}，這是個…
群上同調
在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 起源 群論中的指導思想之一，是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 G-模的特例：一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 G 在 M 上的群作用 G \to \mathrm{End}(M)。等價的說法是：M 是群環 \Z[G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m \mapsto gm。全體 G-…