全實域

在代數數論中，若數域 K 的每個嵌入 \sigma: K \to \mathbb{C} 的像都落在實數域 \mathbb{R}，則稱 K 為-{zh-cn:全实域或全实数域; zh-tw:全實數體;}-。

若 K 可表為 K=\mathbb{Q}(\alpha)，設 \alpha 在 \mathbb{Q} 上的的極小多項式為 P(X)，則嵌入映射 \sigma: K \to \mathbb{C} 透過 \sigma \mapsto \sigma(\alpha) 一一對應於 P(X) 在 \mathbb{C} 裡的根。K 是全實域若且唯若 P(X) 僅有實根。

另一種判準是：K 是全實域若且唯若 K \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{R} \simeq \mathbb{R}^{[K:\mathbb{Q}]}。

全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 L/\mathbb{Q}，我們有 L 是全實域，或者存在極大的全實子域 K/\mathbb{Q} 使得 [L:K]=2。

文獻

• Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3