岩澤理論
數論中，岩澤理論（）是理想類群的理論，由日本數學家岩澤健吉於1950年代提出，是割圓域理論的一部分。1970年代初，考慮了岩澤理論在上的推廣。到1990年代初，拉爾夫·格林伯格將岩澤理論應用到（法文：motifs、英文：motives）。 陳述 岩澤健吉起初觀察到代數數論中某些數域所成的塔的伽羅瓦群同構於p進數所構成的加法群。這個群通常寫作 Γ 並採乘法符號，它是加法群\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}的逆極限，其中p是固…
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共 15 篇文章
代数基本定理
代数基本定理（）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有 n 个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 n 个根。也就是说，任何一个 n 次多项式，都可以因式分解为 n 个複系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基…
域 (数学)
在抽象代数中，域（）又称-{zh-cn:体;zh-tw:域}-，是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。 體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。 最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的…
可分多项式
数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。 第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何…
範數 (域論)
在域論，範數是一種映射。 設K為域，L是K的有限代數擴張。將\alpha與L的一個元素相乘，是一個線性變換： : m_\alpha : L \to L N_{L/K}(\alpha)定義為m_\alpha的行列式。 因此可得N_{L/K}的性質： N_{L/K}(\alpha) \in K \forall \alpha \in L N_{L/K}(\alpha \beta) = N_{L/K}(\alpha) N_{L/K}(\beta…
代數閉域
在數學上，一個域F被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于F且次數大於零的單變數多項式在F裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。 例子 舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根： :x^2+1=0 同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若a_1, \ldots, a_n列出F的所有元素，則下列多項式在F中沒有根： :(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\, 反之，複數域則是代數閉域…
域論
體論（）是抽象代數的分支，研究體的性質。 歷史 域的概念最初被阿貝爾和伽罗瓦用於他們對方程的可解性的工作上。 1871年，理查德·戴德金將對於四則運算封閉的實數或複數集稱為「體」。 1881年，利奧波德·克羅內克定義了「有理體」（），相當於今稱之数域。 1893年，安里西·韋伯給出抽象體的首個清晰定義。 伽罗瓦被視為首個將群論和體論連繫起來的數學家。伽罗瓦理论便以他命名。事實上，埃米爾·阿廷在1928至42年間才將群和體的關係大大發展並…
代數擴張
代数扩张（）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張被稱作代數擴張，若且唯若中的每个元素都是某个以中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：\mathbb{C}/\mathbb{R}、\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}。 定义 代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张，某个元素如果是一个以中元素为系数的非零多項式的根，则称其为上的代数元。如果中所有元素都是上的代数元，就称域扩张为…
单扩张
单扩张是由一个元素生成的域扩张，也是最简单的域扩张，记作F(a)。新的域是原域加上新元素而成的最小域。 本原元定理描述了哪些域擴張E/F中的E可以表示為单扩张。 參考文獻
全實域
在代數數論中，若數域 K 的每個嵌入 \sigma: K \to \mathbb{C} 的像都落在實數域 \mathbb{R}，則稱 K 為-{zh-cn:全实域或全实数域; zh-tw:全實數體;}-。 若 K 可表為 K=\mathbb{Q}(\alpha)，設 \alpha 在 \mathbb{Q} 上的的極小多項式為 P(X)，則嵌入映射 \sigma: K \to \mathbb{C} 透過 \sigma \mapsto \s…
極小多項式
在抽象代數中，一個域上的代數元 \alpha 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P(\alpha) = 0 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) P。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。 形式定義 設 k 為一个域，A 為有限維 k-代數。對任一元素 \alpha \in A，集合 \{1, \alpha, \alpha^2, \ldots \} 張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ： : \sum_{i=…
局部域
在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。 非阿基米德局部域 設F為非阿基米德局部域，而|\cdot|為其絕對值。關鍵在下述對象： 閉單位球：\{a\in F: |a|\leq 1\}，或其整數環\mathcal{O}，這是個…
超越次數
在抽象代數中，一個域擴張 L/K 的超越次數是 L 中在 K 上代數獨立子集的極大基數。 定義 域擴張 L/K 的一組超越基是子集 S \subset L，使得 S 在 K 上代數獨立，而且 L/K(S) 是代數擴張。可證明超越基存在，而任兩組超越基的基數皆相同，由此可定義超越次數為超越基底的基數。 例子 域擴張是代數擴張的充要條件是其超越次數為零。 有理函數域 k(X_1, \ldots, X_n) 對 k 的超越次數為 n。 對於代…
實閉域
在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。 定義 形式實域 假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域F中，-1無法寫成平方和（表法：-1 \neq \sum F^2），則稱F是形式實的。 每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。 實封閉域 一個實封閉域F若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域： F上…
整體域
整體域是代數數論研究的主要對象，分成兩類： 數域：即有理數域 \mathbb{Q} 的有限擴張。 函數域：這裡是指某個有限域 \mathbb{F}_q 上有理函數域 \mathbb{F}_q(T) 的有限擴張。 整體域與局部域相對，整體域對一賦值作完備化便成為局部域。局部域上的分析較為簡單；數學家通常先由局部域入手，再透過阿代爾環之構造研究整體情形。 戴德金與安里西·韋伯在19世紀末首先發現了數域與黎曼曲面的類比；\mathbb{Q} …