在數學上，一個域F被稱作代數閉域，若且唯若任何係數属于F且次數大於零的單變數多項式在F裡至少有一個根。代数闭域一定是无限域。
例子
舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：
:x^2+1=0
同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若a_1, \ldots, a_n列出F的所有元素，則下列多項式在F中沒有根：
:(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\,
反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。
等價的刻劃
給定一個域F，其代數封閉性與下列每一個性質等價：
不可约多项式若且唯若一次多项式
域 F 是代数闭域，当且仅当环 F[x] 中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。
“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果 F 是代数闭域，p(x) 是 F[x] 的一个不可约多项式，那么它有某个根 a，因此 p(x) 是 x-a 的一个倍数。由于 p(x) 是不可约的，这意味着对于某个 k \in F \backslash\{0}\，有 p(x)=k(x-a)。另一方面，如果 F 不是代数闭域，那么存在 F[x] 内的某个非常数多项式 p(x) 在 F 内没有根。设 q(x) 为 p(x) 的某个不可约因子。由于 p(x) 在 F 内没有根，因此 q(x) 在 F 内也没有根。所以，q(x) 的次数大于一，因为每一个一次多项式在 F 内都有一个根。
每一个多项式都是一次多项式的乘积
域 F 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数 F 内的 n\geq 1 的多项式 p(x) 都可以分解成线性因子。也就是说，存在域 F 的元素 k, x_1, x_2, \cdots, x_n，使得 p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)。
如果 F 具有这个性质，那么显然 F[x] 内的每一个非常数多项式在 F 内都有根；也就是说，F 是代数闭域。另一方面，如果 F 是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域 K，任何 K[x] 内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对 F 成立。
F^n 的每一个自同态都有特征向量
域 F 是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数 n，任何从 F^n 到它本身的线性映射都有某个特征向量。
F^n 的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果 F 是代数闭域，每一个 F^n 的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个 F^n 的自同态都有特征向量，设 p(x) 为 F[x] 的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式 q(x)，它有根当且仅当 p(x) 有根。但如果 q(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0，那么 q(x) 是以下友矩阵的特征多项式：
:\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\1&0&\cdots&0&-a_1\\0&1&\cdots&0&-a_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}.
有理表达式的分解
域 F 是代数闭域，当且仅当每一个系数位于 F 内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为 \frac{a}{(x-b)^n}的有理函数之和，其中 n 是自然数，a 和 b 是 F 的元素。
如果 F 是代数闭域，那么由于 F[x] 内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。
而另一方面，假设以上的性质对于域 F 成立。设 p(x) 为 F[x] 内的一个不可约元素。那么有理函数 \frac{1}{p} 可以写成多项式函数 q 与若干个形为 \frac{a}{(x-b)^n} 的有理函数之和。因此，有理表达式
:\frac1{p(x)}-q(x)=\frac{1-p(x)q(x)}{p(x)}
可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于 p(x) 是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。
代數閉包
設E \supset F為代數擴張，且E是代數閉域，則稱E是F的一個代數閉包。可以視之為包含F的最小的代數閉域。
若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設E, E'為任兩個F的代數閉包，則存在環同構\sigma: E \stackrel{\sim}{\rightarrow} E'使得\sigma|_F = \mathrm{id}_F；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 F^\mathrm{alg} 或\bar{F}。
文獻
- S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
- Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
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