代数扩张（）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張被稱作代數擴張，若且唯若中的每个元素都是某个以中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：\mathbb{C}/\mathbb{R}、\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}。
定义
代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张，某个元素如果是一个以中元素为系数的非零多項式的根，则称其为上的代数元。如果中所有元素都是上的代数元，就称域扩张为代数扩张。
次數
設有域擴張，可以看作是上的向量空間，将其維度稱作這個擴張的次數，记作[:]。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張，則裡的任一元素生成的子擴張都是的有限擴張。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。
代數擴張與多項式的根
在一個代數擴張中，中的每個元素都是某個以中元素为系数的多項式（以下简称多项式，所有多项式的集合记作）的根。所有以为根的多項式中次數最低者稱作的极小多項式（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。
若多项式不可約，則商環是的一個域擴張，它的次数，而且不定元在商环中的像是在的一個在中的根，其极小多項式正是。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如\mathbb{R}[X]/(X^2+1)就是在实数域中添加了虚数单位得到的扩域：複數域\mathbb{C}。
给定域扩张，如果多项式可以在中分解成一次因子的積，則稱在中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張使得分裂；裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作在上的分裂域。在上的任兩個分裂域至多差一個上的同構（即：一個限制在上的部分為恆等映射的環同構）。
正規擴張
正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：
- 固定代數閉包，任何上的（即在上是恆等映射的）域嵌入，都有。
- 存在一族在上分裂的多項式(f_i)_{i \in I} \subset K[X]，使得是在中添加它們的根生成的域扩张。
- 中任何不可約多項式若在裡有根，則在裡分裂（全部的根都在里面）。
正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着里的一个多项式。
例子
- x^2 + 1\, 在\mathbb{R}上的分裂域是\mathbb{C}。
- x^3 + 2\, 在\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}} }, \sqrt[3]{2})。
- (x^2 - 2)(x^2 - 3)\, 在\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )。
- \mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q} 是正規域擴張， \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}卻不是，因為後者並沒有包括x^3-2\,的所有根，欠了\sqrt[3]{2} e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}, \sqrt[3]{2} e^{- \frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}。
可分擴張
設為代數擴張，如果的极小多項式沒有重根，則稱可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於1，這可以直接在中計算）。所有可分元素形成一個中间域⊂⊂，稱作的可分次數。若，則稱是可分擴張。
當是有限擴張時，定義不可分次數。當基域的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。
参考文献
- Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X
外部链接
- [http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html 簡介 Galois 理論 /李華介 ]
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