範數 (域論)

在域論，範數是一種映射。

設K為域，L是K的有限代數擴張。將\alpha與L的一個元素相乘，是一個線性變換：
: m_\alpha : L \to L

N_{L/K}(\alpha)定義為m_\alpha的行列式。

因此可得N_{L/K}的性質：

• N_{L/K}(\alpha) \in K \forall \alpha \in L
• N_{L/K}(\alpha \beta) = N_{L/K}(\alpha) N_{L/K}(\beta)

若L/K為伽羅瓦擴張，N_{L/K}(\alpha)是\alpha所有共軛的積，即是\alpha的極小多項式的所有根的積。

代數整數的範數仍是代數整數。

在代數數論亦可為理想定義範數。若I是代數數域K的整數域O_k中的理想，N(I)是O_k/I的剩餘類的數目。

例子

• 複數的範數：對於a,b \in \mathbb{R}，對於複數此一實數域擴張，N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2，即複數和其共軛複數之積，因為a+bi在\mathbb{R}的極小多項式的根是a \pm bi。
• 設L=\mathbb{Q}(\sqrt{2}) , K=\mathbb{Q}, \varphi = (1 + \sqrt{5})/2（黃金分割）。N( \varphi ) = (1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})/4 = 1，因為它在L的極小多項式是x^2 - x - 1。