在抽象代数中，域（）又称-{zh-cn:体;zh-tw:域}-，是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，體正是数域以及四则运算的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由Évariste Galois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定义
給定集合 K ，它具有了以下兩種二元运算：

• \oplus:K \times K \to K （其中 \oplus(a,\,b) 慣例上簡記為 a \oplus b ）
• \otimes:K \times K \to K （其中 \otimes(a,\,b) 慣例上簡記為 a \otimes b 或 a \cdot b 甚至是 ab ）

滿足：

(K,\,\oplus) 為交换群，且其單位元為 0_K 。

(K-\{0_K\},\,\otimes) 為交换群。

分配律：對所有 a,\,b,\,c \in K，a \otimes (b \oplus c)

= (a \otimes b) \oplus (a \otimes c) 且 (b \oplus c) \otimes a
= (b \otimes a) \oplus (c \otimes a)。

那稱「 (K,\,\oplus,\,\otimes) 為體」，當二元运算（\oplus和\otimes）的定義顯而易見而不需特別強調時，亦可將 (K,\,\oplus,\,\otimes) 簡記為 K 。

慣用符號與稱呼
(1)體的代號：

有時會基於德语 ，以字母 K 代稱體，但也會基於英语 以 F 代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上，\otimes 被稱為乘法， (K-\{0_K\},\,\otimes) 的單位元會記為 1_K ，並稱為 (K,\,\oplus,\,\otimes) 的乘法單位元。

類似地， \oplus 被稱為加法， 0_K 被稱為體的加法單位元。

類似於实数的加乘法，這兩個二元運算的運算式如果沒有括弧，會依照先乘後加的順序理解。

(3)減法與除法：

對於任意 a,\,b \in K ，一般會遵循群的習慣，將 a 的加法逆元素記做 -a ，並將 b+(-a) 簡記為 b-a ，並可將之稱為減法。

類似地，若 a \neq 0_K ， a 的乘法逆元素記做 \frac{1}{a} ，並將 b \otimes \frac{1}{a} 簡記為 \frac{b}{a} ，並可將之稱為除法。

這些運算跟實數四則運算不必然相同，上面的約定慣例只是方便記憶和理解。但另一方面，在不與實數四則運算混淆的前提下，\otimes也可簡記為\times，\oplus也可簡記為+。

子體
類似於子群，也可以定義如下的子體：

(K,\,\oplus,\,\otimes) 為體。若K的非空子集A \subseteq K使(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})也為體，則稱(A,\,\oplus_{A \times A},\,\otimes_{A \times A})為(K,\,\oplus,\,\otimes)的子體(**')；如果二元運算（\oplus和\otimes）不須特別強調，也可以簡稱為「A為K的子體」。

\oplus_{A \times A}意思就是保留原來\oplus的對應規則，但把定義域縮小到A \times A所生成的新函數（也就是函數的限制）。所以直觀上「A是K的子體」的意思就是：「把\oplus和\otimes的定義範圍由K縮小成A時，\oplus和\otimes仍然保有體的運算性質」。

基本性質
以上的定理也證明了，只要\left(K,\,+\right) 為交换群且有分配律，就足以決定 0_K 相關乘法的值。所以正式定義雖然把 0_K 排除在與乘法有關的運算性質之外，但事實上把0_K包含進去也會有交換律和結合律，也就是說

{{Math theorem
|note = 3
|math_statement=
\left(K,\,+,\,\times\right) 為體，若 a,\,b \in K 且 a \neq 0_K 和 b \neq 0_K ，則

:\frac{1}{a\times b} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b}
}}

• 若(K,\,\oplus,\,\otimes) 為體，(K-\{0_K\},\,\otimes)的有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时F中最小的子域分别是\mathbb{Q}或有限域\mathbb{F}_p，称之为F的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

例子

• 許多常见的数域都是域。比如说，全体複數的集合\mathbb{C} 與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合\mathbb{Q} 與其加法和乘法也是一个域，它是\mathbb{C} 的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域\mathbb{Q}的有限扩域，也就是说代数数域是\mathbb{Q}上的有限维向量空间。代数数域都同构于\mathbb{C} 的子域，并且这个同构保持\mathbb{Q}不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作\overline{\mathbb{Q}}。\overline{\mathbb{Q}}是有理数域\mathbb{Q}的代数闭包（见下）。\overline{\mathbb{Q}}是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合\mathbb{R} 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域\mathbb{C} 的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是\mathbb{R} 的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作Fq，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p* = 2,就得到最小的域：F2。F2只含有两个元素0和1，运算法则如下：

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域\mathbb{C} 就是实数域\mathbb{R} 在\mathbb{C} 中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/是一个域。其中的表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/2 + 1>是一个域（同构于复数域\mathbb{C} ）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于2^{2^n}的所有自然数构成的子集）都是域。

有限體
有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道\mathbb{F}_2為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素1\neq 0。

通常來說，最簡單的質數階體，就是\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}=\{0,1,...p-1\}，此處p為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數\mathbb{\Z}上的運算，然後除以p，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作\mathbb{F}_{p}。要注意的是\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}=\{0,1,...n-1\}，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 \mathbb{Z}/ 4 \mathbb{Z} 中 2\times2=0 ，因此 (\{1,2,3\},\times) 不能形成群。

如果我們將向量空間\mathit{V}=\mathbb{F}_{p}/m^n，則我們將V稱作有限體向量空間，其中n=\dim\mathit{V}，可知這個向量空間中，有p^n個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是GL_{n}(\mathbb{F}_p)，則此矩陣的元素有(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})

歷史
歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根的置換，在以下的表達

(其中是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 到一個 的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

建構體
伽羅瓦理論
請參見伽羅瓦理論

體的不變量
應用
參見

• 特徵 (代数)

*環論

• 域論
• 有序域

參考文獻