實閉域

在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

定義
形式實域
假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域F中，-1無法寫成平方和（表法：-1 \neq \sum F^2），則稱F是形式實的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域
一個實封閉域F若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域：

• F上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。
• F上存在一個序結構，使之滿足中間值定理。
• 對任意a \in F，或者a \in F^2或者-a \in F^2；且任何奇數次多項式都有根。
• F非代數封閉，而F(\sqrt{-1})代數封閉。
• 若F' \supset F，F'是形式實的，則F'=F。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由a > 0 \Leftrightarrow a \in F^2, a \neq 0得到唯一的序結構。

實閉包
對任何形式實域F，都存在代數擴張R \subset F，使得R是實封閉的。我們稱R是F的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在F上固定一個序結構，並要求R的序結構與之相容；則此時實閉包R存在並唯一，且\mathrm{Aut}(R/F) = \{\mathrm{id}_R\}。

例子

• 實數域\mathbb{R}
• \mathbb{R} \cap \mathbb{Q}^\mathrm{alg}；它是\mathbb{Q}的實閉包。
• 可計算數
• Puiseux級數

模型論觀點
實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言\mathcal{L} := \langle +, -, \cdot, > \rangle，設\mathrm{RCF}為實封閉域（帶序結構）的\mathcal{L}-一階理論，塔斯基證明了\mathrm{RCF}上有量詞消去；因此任兩個\mathrm{RCF}的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用\mathbb{R}上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決\mathbb{R}上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言\mathcal{L}^- := \langle +, -, \cdot \rangle，並取實封閉域的代數定義\mathrm{RCF}^-，此時則無法消去量詞（在\mathrm{RCF}^-中考慮公式\exists y\; y=x^2）。

設R是實封閉域，換言之R \models_\mathcal{L} \mathrm{RCF}，根據\mathrm{RCF}上的量詞消去，R上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究R^n上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含\mathrm{RCF}的可判定性，然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

文獻

• Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
• H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
• Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 ([http://www.cs.nyu.edu/mishra/PUBLICATIONS/97.real-alg.ps Postscript 版本] ); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
• Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 ([https://web.archive.org/web/20070314030807/http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-posted1.html 在線版本])
• Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943