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代数基本定理

Wikipedia · 2026-07-23 维基百科 👁 1 阅读

代数基本定理（）说明，任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根。也就是说，複數域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有 n 个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 n 个根。也就是说，任何一个 n 次多项式，都可以因式分解为 n 个複系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

证明
所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或複数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有複数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定複系数多项式 p(z)，以下的多项式
:q(z)=p(z)\overline{p(\overline{z})}
就是一个实系数多项式，如果 z 是 q(z) 的根，那么z或它的共轭複数就是 p(z) 的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当 |z| 足够大时，首系数为1的 n 次多项式函数 p(z) 的表现如同 z^n。一个更确切的表述是：存在某个正实数 R，使得当 |z|>R 时，就有：

:\frac{1}{2}|z^n|

複分析证明
证明一
寻找一个中心为原点，半径为 r 的闭圆盘 D，使得当 |z|\geq r 时，就有|p(z)|>|p(0)|。因此，|p(z)| 在 D 内的最小值（一定存在，因为 D 是紧致的），是在 D 的内部的某个点 z_0 取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，p(z_0)=0。也就是说，z_0 是 p(z) 的一个零点（根）。

证明二
由于在 D 之外，有 |p(z)|>|p(0)|，因此在整个複平面上，|p(z)| 的最小值在 z_0 取得。如果 |p(z_0)|>0，那么\frac{1}{p}在整个複平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个複数 z，都有 |\frac{1}{p}(z)|\leq|\frac{1}{p}(z_0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知 \frac{1}{p} 是常数，因此 p 是常数。于是得出矛盾，所以 |p(z_0)|=0。

证明三
这个证明用到了辐角原理。设 R 为足够大的正实数，使得 p(z) 的每一个根的绝对值都小于 R；这个数一定存在，因为 n 次多项式函数最多有 n 个根。对于每一个 r>R，考虑以下的数：

:\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,

其中 c(r) 是中心为0，半径为 r 的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是 p(z) 在中心为0、半径为 r 的开圆盘内的零点的数目 N，由于 r>R，所以它也是 p(z) 的零点的总数目。另一方面，\frac{n}{z} 沿着 c(r) 的积分除以 2 \pi i，等于 n。但这两个数的差为：

:\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是 n-1，而分母的次数是 n+1。因此，当 r 趋于 +\infty 时，以上的数趋于0。但这个数也等于 N-n，因此有 N=n。

证明四
这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个 n>0 次複系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个複数特征值。证明用到了反证法。

设 A 为大小 n>0 的方块矩阵，并设 I_n 为相同大小的单位矩阵。假设 A 没有特征值。考虑预解函数

: R(z)=(zI_n-A)^{-1},\,

它在複平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。A 的特征值正好是 R(z) 的极点。根据假设，A 没有特征值，因此函数 R(z) 是整函数，根据柯西积分定理可知：

: \int_{c(r)} R(z) dz =0.\,

另一方面，把 R(z) 展开为几何级数，可得：

:R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^k}A^k\cdot

这个公式在半径为 \lVert A \rVert 的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设 r>\lVert A \rVert。那么：

:\int_{c(r)}R(z)dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)}\frac{dz}{z^{k+1}}A^k=2\pi iI_n

（仅当 k=0 时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此 A 一定有一个特征值。

拓扑学证明
设 z_0 \in \mathbb{C} 为使 |p(z)| 在 z_0 取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把 p(z) 写成 z-z_0 的多项式：存在某个自然数 k 和一些複数 c_k, c_{k+1}, \cdots, c_n，使得 c_k \neq 0，以及：

:p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+ \cdots +c_n(z-z_0)^n.

可推出如果 a 是 \frac{p(z)-p(z_0)}{c_k} 的一个 k 重根，且 t 是足够小的正数，那么 |p(z_0+ta)|，这是不可能的，因为 |p(z_0)| 是 |p| 在 D 内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设 p(z) 没有根。选择一个足够大的正数 R，使得对于 |z|=R，p(z) 的第一项 z^n 大于所有其它的项的和；也就是说，|z|^n > |a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0|。当 z 依逆时针方向绕过方程为 |z|=R 的圆一次时，p(z)，像 z^n 那样，依逆时针方向绕过零 n 次。在另外一个极端，|z|=0 时，“曲线” p(z) 仅仅是一个（非零的）点 p(0)，它的卷绕数显然是0。如果 z 所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么 p(z) 的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为H(Re^{i\theta},t)=p((1-t)Re^{i\theta})，其中 t 大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量 t 视为时间，那么在时间为零时，曲线为 p(z) ，时间为1时，曲线为 p(0)。显然在每一个点 t，根据原先的假设 p(z) 都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是 n，结束时是0，因此得出矛盾。所以，p(z) 至少有一个根。

代数证明
这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在 \mathbb{R} 上有实平方根，以及任何奇次多项式在 \mathbb{R} 上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先 \mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)=\mathbb{R}(i)。经过简单的计算可以证明\mathbb{C}在开平方运算下是封闭的 a + bi = (c+di)^2 , c^2, d^2 分别是\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}, \frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2} 。结合char \mathbb{C}=0\neq2。得出\mathbb{C}不存在二阶扩张。

由于 char \mathbb{R}=0，于是任何\mathbb{R}的扩张都是可分的，从而任何\mathbb{R}的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设K/\mathbb{R}、K/\mathbb{C}都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群G=Gal(K/\mathbb{R})的西罗2-子群 H。那么[K^H:\mathbb{R}]是奇数。由本原元定理得出，K^H 存在本原元 \alpha，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是H=G,K^H=\mathbb{R},[K:\mathbb{R}]是2的幂次。

假设[K:\mathbb{C}]=2^r并且 r>0，再次利用西罗定理，G 存在一个阶为 2^{r-1} 的子群N。这时[K^N:\mathbb{C}]=2。这和先前\mathbb{C}不存在二阶扩张矛盾。因此\mathbb{C}的任何代数扩张都是\mathbb{C}本身，代数基本定理得证。

推论
由于代数基本定理可以视为複数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在複数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与複数域之间的关系的：

  • 複数域是实数域的代数闭包。
  • 每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、x+a 形式的多项式（a 为实数），以及 x^2+ax+b 形式的多项式（a 和 b 为实数，a^2-4b）的乘积。
  • 每一个一元实系数有理函数都可以写成 \frac{a}{(x-b)^n}形式的有理函数（其中 n 是自然数，a 和 b 是实数），与 \frac{(ax+b)}{(x^2+cx+d)^n} 形式的有理函数（其中 n 是自然数，a 、b 、c和 d 是实数，c^2-4d）的和。由此可以推出，任何一个一元实系数有理函数都有一个初等的原函数。
  • 实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构，要么与複数域同构。

韦达公式
韦达公式把多项式的系数\lbrace a_k \rbrace与它的根\lbrace x_k \rbrace的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出：
a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)

注释
参考文献
历史上的文献
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  • . English translation:

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  • 卡爾·弗里德里希·高斯, “[http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree]”, 1815

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现代作品
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外部链接

#域論 #包含证明的条目 #多项式定理 #复分析定理

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