德林費爾德模

在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 \mathrm{GL}(2) 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出 \mathrm{GL}(n) 的情形。

德林費爾德模
加性多項式環
設 L 為特徵 p>0 的域。定義其上的非交換多項式環 L\{\tau\}
: a0 + a1τ + a2τ2 + ...

乘法由下述條件確定
: \tau a = a^p \tau

元素 \tau 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上，L 是左 L\{\tau\}-模，其中 L 以乘法作用而 \tau 以 a \mapsto a^p 映射。環 L\{\tau\} 也可以看作是如下多項式的集合
: a_0 X^1 + a_1 X^p + a_2 X^{p^2} + \cdots = a_0\tau^0 + a_1\tau + a_2\tau^2 + \cdots \in L[X]
這類多項式滿足 f(X+Y)=f(X)+f(Y) \in L[X,Y]，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

形式定義
今設 A 為交換環，L 上的 *德林費爾德 A-模*定義為環同態 \psi: A \to L\{\tau\}，使得 \psi(A) 不包含於 L；此條件意在排除一些平凡例子。環 A 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

L\{\tau\} 可視為加法群 (L,+) 的自同態，而德林費爾德 A-模可視為 A 在 (L,+) 上的作用。

例子

• 置 A := \mathbb{F}_p[T]，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 \psi: A \to L\{\tau\} 僅依賴於像 \psi(T) \in L\{\tau\} \setminus L。此時德林費爾德模可等同於 L\{\tau\} \setminus L。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
• 承上，Carlitz 模是由 \psi(T)=T+\tau，L 為含 \mathbb{F}_p 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見[http://www.math.ohio-state.edu/~goss/three.pdf Goss 的著作第三章] 。

штука
設 X 是有限域 \mathbb{F}_p 上的代數曲線。對概形或疊 U，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義：

• U \times X 上的秩 r 局部自由層 E, E' 及單射

: E \rightarrow E' \leftarrow (\mathrm{Fr}^ \times 1)^ E
其餘核的支撐集包括於某態射 U \to X 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 0 與 \infty），且在支撐集上是秩 1 局部自由層。在此 \mathrm{Fr} 表 U 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 U，可得代數疊 \mathrm{Sht}^r 及 \mathrm{Sht}^r \times X 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 (\infty,0): \mathrm{Sht}^r \to X \times X。注意到當 r > 1 時，疊 \mathrm{Sht}^r 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應用
簡言之，函數域上的郎蘭茲猜想是關於 \mathrm{GL}(n) 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明n=2的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 2 штука 的模空間的 \ell-進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 n \geq 2 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

文獻
德林費爾德模
V. Drinfel'd, Elliptic modules* (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
D. Goss, Basic structures of function field arithmetic*, ISBN 3-540-63541-6
*[http://eom.springer.de/D/d120270.htm Drinfel'd module] in the Springer encyclopaedia of mathematics
G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II*, Cambridge university press 1996

штука
Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
*Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
*D. Goss, [http://www.ams.org/notices/200301/what-is.pdf What is a shtuka?] Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作
Lafforgue, L. [http://www.math.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/07/Lafforgue.MAN.html Chtoucas de Drinfeld et applications.*] (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570

• Lafforgue, Laurent [http://arxiv.org/abs/math.NT/0212399 Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.] (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

Gérard Laumon, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0212417 The work of Laurent Lafforgue*] Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
G. Laumon [http://arxiv.org/abs/math.AG/0003131 La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue)*] (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873