弗罗贝尼乌斯自同态
在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（'，简称弗罗贝尼乌斯*）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。 x \mapsto x^p 在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。 定义 设R 是一个交换环，特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为： F : \, x \mapsto x^p 这是一个…
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线性码
编码理论中，线性码是一种纠错码，满足其任何码字的线性组合也是其码字。传统上，线性码分为分组码和卷积码两大类，尽管涡轮码可以看作是这两种类型的混合。 线性码的编码和解码可以有比其他码更有效的算法（参见伴随式解码）。 线性码用于前馈纠错，用于在通信信道上传输符号（例如，比特），以使在通信中出现错误时，消息块的接收者可以纠正或检测到一些错误。线性分组码的码字是一种符号块，这种符号块使用比要发送的原始值更多的符号进行编码。长度为n的线性码传输包…
椭圆曲线密码学
椭圆曲线密码学（，缩写：）是一種基于椭圆曲线数学的公开密钥加密演算法。 ECC的主要优势是它相比RSA加密演算法使用較小的密鑰長度并提供相当等级的安全性。ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。 歷史 椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由和分别独立提出的。椭圆曲线密码学的演算法是在2004年至2005年開始廣泛應用。 理論 針對密碼學…
BCH码
BCH码（BCH codes、Bose–Chaudhuri–Hocquenghem codes）為取自Bose、Ray-Chaudhuri与Hocquenghem的缩写，是编码理论尤其是纠错码中研究得比较多的一种编码方法。用术语来说，BCH码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码。BCH码也可以用于质数级或者质数的幂级的多级相移键控。11级的BCH码已经用于表示10进制数外加一个符号位。 构建 BCH 码使用有限…
德林費爾德模
在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。 俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。 弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的…
有限域
在数学中，有限域（）或伽罗瓦域（，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 为素数时，整数对 取模。 有限域的元素个数称为它的阶。 有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。 定理 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存…
循环码
在编码理论中，循环码（）是一种分組碼，每个码字循环移位会得到同样属于该码的另一个码字。它们是拥有便于误差检测与校正的纠错码。 定义 令 \mathcal{C} 为有限域 GF(q) 上的分组长度为 n 的线性码。如果对于 C 中的每个 c=(c1,...,cn)，由循环移位得到的 GF(q)^n 中的字 (cn,c1,...,cn-1) 仍是一个码字，则 \mathcal{C} 称为循环码。由于向右循环移一位就相当于向左循环移 n − …
离散对数
在整數中，離散對數（）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 \log_b a 是指對於給定的 a 和 b，有一個數 x，使得b^x=a。相同地在任何群 G中可為所有整數 k 定義一個冪數為 b^k，而離散對數 \log_b a 是指使得 b^k=a 的整數 k 。 離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇…
伯利坎普-韦尔奇算法
伯利坎普－韦尔奇算法（）是一種用於高效地解碼BCH碼與里德-所羅門碼的演算法，其名取自埃尔温·伯利坎普與勞埃德·韋爾奇。伯利坎普－韦尔奇算法的優點在於這一演算法僅需利用矩陣運算。這一演算法的時間複雜度為O(N^3)。 演算法 伯利坎普－韦尔奇算法通常被用於解碼里德-所羅門碼。假使在有限體GF(q)上有n個數字m_1, \dots , m_n，利用RS碼編為n-1次多項式P(i)=m_i。如果已知傳輸信道會錯誤傳輸k個值，那麼RS碼可以傳…
米勒-拉宾检验
米勒-拉賓質數判定法（）是一种質數判定法則，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。1976年，卡内基梅隆大学的计算机系教授首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，於1980年，由以色列耶路撒冷希伯來大學的麥可·拉賓}-教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。 概念 首先介绍一个相关的引理。我们发现 1^2 \bmod p 和 (-1)^2\bmod p 总是得到 1，我们称 -1 和 1 是…
循環冗餘校驗
循環冗餘校驗（，通稱「CRC」）是一種根據網路數據封包或電腦檔案等數據產生簡短固定位數驗證碼的一種散列函數，主要用來檢測或校驗數據傳輸或者保存後可能出現的錯誤。生成的數字在傳輸或者儲存之前計算出來並且附加到數據後面，然後接收方進行檢驗確定數據是否發生變化。由於本函數易於用二進制的電腦硬件使用、容易進行數學分析並且尤其善於檢測傳輸通道干擾引起的錯誤，因此獲得廣泛應用。此方法是由於1961年發表。 CRCs經常被叫做「校驗和」，但是這樣的說…
AKS質數測試
AKS質數測試（又稱Agrawal–Kayal–Saxena質數測試和Cyclotomic AKS test）是一個決定型質數測試演算法 ，由三個來自的計算機科學家，、和，在2002年8月6日發表於一篇題為質數屬於P的論文。作者們因此獲得了許多獎項，包含了2006年的哥德爾獎和2006年的富尔克森奖。這個演算法可以在多項式時間之內，決定一個給定整數是質數或者合數。 重要性 AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定…
伽罗瓦/计数器模式
在密码学中，伽罗瓦/计数器模式（GCM）是一种对称分组加密算法的工作模式，因其良好的性能而被广泛采用。最快速的GCM通信信道可以用便宜的硬件来实现。 GCM算法提供数据真实性（与完整性）和机密性的验证，基于关联数据认证加密（AEAD）方法。这表示它需要密钥K、明文P和一些附加数据（associated data，以下简称AD）作为输入；然后使用密钥对明文 P 加密得到密文 C，并根据密文和AD（未加密）的计算来得到认证标签 T。知道K（…
尼姆数
组合博弈论引入了一类数学对象，称为尼姆数，它们被定义为尼姆堆的值。但是由于斯普莱格–格隆第定理，它们可以用于一大类游戏的研究。事实上，尼姆数是在序数的真类上赋予尼姆加法和尼姆乘法的运算之后形成的概念。这些运算和通常施行于序数类上的加法和乘法并不相同。 尼姆数的特点 斯普莱格–格隆第定理指出：每个无偏博弈等价于一个特定大小的尼姆堆。尼姆数的加法运算（叫做尼姆加法）可以用于计算等价于多个堆的单一尼姆堆大小。这被定义为 :\alpha + \…
ChaCha20-Poly1305
ChaCha20-Poly1305是一种认证加密算法。 ChaCha20-Poly1305加密時无需硬件加速，而且加密速度通常比AES-GCM更快，所以某些移动设备中會優先採用ChaCha20-Poly1305加密算法。 ChaCha20-Poly1305由兩部分組成，分別是Poly1305和ChaCha20。ChaCha20-Poly1305適用於IPsec、 SSH 、 TLS 1.2 、 DTLS 1.2、TLS 1.3 、 QU…
网络编码
网络编码是一种通过中继节点对接收到的信息进行编码来达到提高多播网络容量的技术。Rudolf Ahlswede, Ning Cai, Shuo-Yen Robert Li, Raymond W. Yeung在2000年首次提出网络编码的概念。 在右图的网络拓扑中，s节点试图向t_{1}, t_{2}组播两条消息x,y。设每条消息占用的带宽为1，每个节点之间的网络带宽也为1，那么每个节点之间只能同时传输一条消息。线路cd上会需要同时传输x,…