伯利坎普-韦尔奇算法

伯利坎普－韦尔奇算法（）是一種用於高效地解碼BCH碼與里德-所羅門碼的演算法，其名取自埃尔温·伯利坎普與勞埃德·韋爾奇。伯利坎普－韦尔奇算法的優點在於這一演算法僅需利用矩陣運算。這一演算法的時間複雜度為O(N^3)。

演算法
伯利坎普－韦尔奇算法通常被用於解碼里德-所羅門碼。假使在有限體GF(q)上有n個數字m_1, \dots , m_n，利用RS碼編為n-1次多項式P(i)=m_i。如果已知傳輸信道會錯誤傳輸k個值，那麼RS碼可以傳輸P(i)上的n+2k個點(i, P(i))。因此，解碼者的問題在於要辨認出哪k個點是錯誤的。令解碼者接收到的點值為R(i)，可以看出對於且僅對於所有正確傳輸的點i，P(i)=R(i)。

錯誤辨認多項式
伯利坎普－韦尔奇算法引入了錯誤辨認多項式的概念，也即多項式E(i)=(i-e_1)(i-e_2)\dots(i-e_k)，其中e的值為所有k個錯誤傳輸的點的i值（均未知）。由於E(i)=0當且僅當i對應一個錯誤傳輸的點，可以看出對於所有i值，P(i)E(i)=R(i)E(i)，其中R(i)對於所有i均為已知常數。令Q(i)=R(i)E(i)，可以看出左側為一個n+k-1次的多項式，右側為一個k次的多項式，但其最高次係數為1。因此，整個線性系統有n+2k個方程式與n+2k個未知數，可以用線性代數的方法解出，並可以由P(i)=Q(i)/E(i)解出原始的編碼多項式並讀出編碼值m_1,\dots,m_n。

註釋