在数学中，有限域（）或伽罗瓦域（，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 为素数时，整数对 取模。
有限域的元素个数称为它的阶。
有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。
定理
- 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的幂。
- 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的p^n阶的有限域，并且所有元素都是方程 x^{p^n}-x=0 的根，该域的特征为p。
- 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限體，则存在\alpha\in F使得F^*=\{x\in F|x\neq0\}=\langle\alpha\rangle。
- 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
- 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。
存在性與唯一性
設 為質數冪， 為多項式
:P=X^q-X
於質數域 上的分裂域。換言之， 是最低階的有限域，使得 在 內有 個互異的根（注意 的為 -1 \neq 0 ，因此 無重根）。
利用二項式定理，可證恆等式
:(x+y)^p=x^p+y^p
在特徵為 的域上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 任兩根之和或積仍為 的根。同時， 的根的乘法逆元仍是根，因此 的根構成一個 階的域。由 的最小性，可知此域即為 。
由於分裂域在同構意義下唯一， 階域也在同構意義下唯一（已證其為 P=X^q-X 的分裂域）。而且，若域 有一個階為 q=p^k 的子域，則其元素恰為 X^q-X 的 個根，所以 不能包含另一個階為 的子域。
E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：
::有限域的階為質數冪。對任意一個質數冪 都存在 階的域，並且任意兩個 階的域都同構。該些域中，任意的元素 ' 都滿足
:::x^q=x,
::且多項式 可分解成
:::X^q-X= \prod_{a\in F} (X-a).
由此可知， 有同構於 的子域當且僅當 整除 ；該情況下，僅有唯一的子域與 同構。多項式 整除 也是當且僅當 整除
弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論
設 為質數， 為質數冪。
在 中，恆等式 說明映射
: \varphi:x \mapsto x^p
是 上 -線性的域自同構，其保持子域 的元素。該映射稱為弗罗贝尼乌斯自同構，得名於费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
記 為 的 次疊代，則
: \varphi^k:x \mapsto x^{p^k}.
此前已證明 為恆同映射。若 , 則自同構 並非恆同映射，否則多項式
:X^{p^k}-X
就有多於 個根，矛盾。
此外 並無其他 -自同構。換言之， 恰有 個 -自同構，其為
:\mathrm{Id}=\varphi^0, \varphi, \varphi^2, \ldots, \varphi^{n-1}.
以伽羅瓦理論觀之， 是 的伽羅瓦擴展，且其伽羅瓦群為循環群。
弗羅貝尼烏斯映射為滿射，因此任意一個有限域都是。
一些小型的有限域
F2:
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F3:
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F4: 考虑 x^2+x+1 =0, 方程的根不在F2中。記其中一根為A, 則 A^2+A+1 =0, 且另一根為
B =A^2.
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参考文献
*《近世代数》
参见
- 域论
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