在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某個整系數的首一多項式P(x)的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。
因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作\mathbb{A}。
如果P(x)是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則P的根都不是代數整數。
定义
以下是代数整数四种相互等价的定义。设为代数数域（有理数域\mathbb Q的有限扩张）。根据本原元定理，可以写成K = \mathbb{Q}(\theta)的形式。其中\theta \in \mathbb C是某个代数数。设有\alpha \in K，则是代数整数当且仅当以下命题之一成立：
#存在整系数多项式：P = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_{m-1} X +a_m \in \mathbb{Z}[X]，使得P(\alpha) = 0。
#在\mathbb Q上的极小首一多项式是整系数多项式。
#\mathbb{Z}[\alpha]是有限生成的\mathbb Z模。
#存在有限生成的\mathbb Z子模：M \subset \mathbb{C}，使得\alpha M \subseteq M。
例子
*有理数域\mathbb{Q}中的代数整数就是整数。换句话说，\mathbb{A}和\mathbb{Q}交集是整数环\mathbb{Z}。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式
P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m
:有一个根是有理数：\scriptstyle r = \frac{p}{q}，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除a_m，以及分子p 整除a_0。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高冪次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式\displaystyle x - n 的根，所以是代数整数。
*一个给定的代数数域\mathbb{K}与\mathbb{A}的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作\mathcal{O}_K。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{2})，那么对应的整数环中不仅有整数，还有\sqrt{2}，因为\sqrt{2}是首一多项式\scriptstyle x^2 - 2 的根。
*\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}不是代数整数。这是因为\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}在有理数域上的最小多项式是\scriptstyle 2x^2 - 1 ，不是一个首一多项式。
*\scriptstyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}是一个代数整数。它是多项式\scriptstyle x^2 - x - 1的根。一般来说，如果整数\scriptstyle d除以4余1，那么\scriptstyle \frac{1+\sqrt{d}}{2}也是代数整数，因为它是多项式\scriptstyle x^2 - x - \frac{d-1}{4}的根。
*给定素数，次单位根\zeta_p也是一个代数整数，因为是首一多项式\displaystyle x^p - 1 = 0的根。实际上，次分圆域\mathbb{Q}(\zeta_p)的整数环就是\mathbb{Z}[\zeta_p]。
性质
- 兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
- 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
- 任何從整數出發，透過和、積與开方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
- 代數整數是裴蜀整环。
參見
*整性
*高斯整數
*艾森斯坦整數
*單位根
*狄利克雷單位理論
*基本单位 (数论)
参考来源
- Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977
评论 (0)