抽象解析数论

抽象解析数论（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。

算术半群
该理论涉及到一个基本概念，算术半群，是满足以下性质的交换幺半群G：

G有一个可数子集P，使得G中的每个元素a \neq 1有唯一分解a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}，其中p_i是P中不同的元素，\alpha_i是正整数，并且不考虑顺序。P的元素称为G的素元（prime）。
存在G上的实值映射|\cdot|:G\to\mathbb{R}，称为范数（norm），使得

*# |1|=1
*# 对任意p\in P，|p|>1
*# 对任意a,b\in G，|ab|=|a||b|
*# 对任意实数x>0，G中范数不超过x的元素的总个数是有限的。即N_G(x)=\#\{a\in G:|a|\le x\}

加法数系
若算术半群的底部幺半群G是自由的，则称为加法数系（additive number system）。

若范数是整数值的，则可以在G上定义计数函数a(n)和p(n)，其中p(n)是P中范数为n的元素的个数，a(n)是G中范数为n的元素的个数。令A(x)=\sum_n{a(n)x^n}, \quad P(x)=\sum_n{p(n)x^n}为对应的形式幂级数。可得基本恒等式

A(x)=\prod_n{(1-x^n)^{-p(n)}}

G的收敛半径定义为幂级数A(x)的收敛半径。

基本恒等式还有另一种形式

A(x)=\exp\left({\sum_{m\ge 1}{\frac{P(x^m)}m}}\right)

例子

算术半群的原型是正整数的乘法半群\mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\cdots\}，素元就是通常的素数P=\{2,3,5,\cdots\}。范数就是|n|=n，因此N_G(x)=\lfloor x \rfloor，即不超过x的最大整数。
设K是一个代数数域，即有理数域\mathbb{Q} 的有限扩张，K中的整数组成环O_K ，则O_K 的所有非零理想组成的集合G是算术半群，单位元是O_K ，理想I 的范数等于商环O_K/I 的基数。这种情况下，与素数定理对应的推广就是，描述了O_K 中的理想的渐进分布。

方法与技巧
算术函数与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧，推广到任意的算术半群上（可能还要满足几个附加的公理）。例如下面公理：

A公理：存在正数A与\delta ，以及常数\nu \ (0\le \nu ，使得N_G(x)=Ax^\delta+O(x^\nu),\ x\to\infty 。

对任何满足A公理的算术半群，有以下抽象素数定理：

\pi_G(x)\sim\frac{x^\delta}{\delta \log{x}},\ x\to\infty

其中\pi_G(x) 是P中满足|p|\le x 的元素p的总个数。

另见

参考文献

Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.