解析数论
上的黎曼ζ函數ζ(s)，其顏色表示函數的值，越接近黑色的表示其數值越接近零，而其色相表示函數數值的辐角]] 解析数论（analytic number theory），為數論中的分支，它使用由数学分析中發展出的方法，作为工具，来解决数论中的问题。它首次出現在數學家狄利克雷在1837年導入狄利克雷L函數，來証明狄利克雷定理。解析数论的成果中，較廣為人知的是在質數（例如質數定理及黎曼ζ函數）及堆疊數論（例如哥德巴赫猜想及華林問題）。 解析数论…
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共 27 篇文章
超越數論
超越数论是一個研究数论的方支，以定性、定量的方法來研究超越数（無法表示成某個以有理数為系数的多项式方程的解）。 超越 代数基本定理告诉我们：如果有一个非常數、有理係數的多项式（或者等效地，通过去分母後，具有整数系数），那么该多项式将具有复数根。也就是说，对于任何非常数的有理系數多项式P，会有一个复数\alpha，使得P(\alpha)=0。超越理论关注反向的问题：给定一个复数\alpha ，是否存在有理係數多项式P，使得P(\alpha…
概率数论
概率数论（）是数论的一个分支，它显式地利用概率论的方法和概念来回答关于整数和算术函数（Integer-valued functions）的问题。 该理论的一个基本思想是，在某种严格的意义上，不同的素数就像是独立随机变量。然而，这并不是一个拥有单一且唯一形式化定义的思想，而是一种理解数论问题的视角。 该理论的创始人包括1930年代的埃尔德什·帕尔、奥雷尔·温特纳和马克·卡茨。这一时期也是解析数论调查研究的高峰期。该领域的基础性成果包括图兰…
布朗常数
{{Infobox number | name=布朗常数 | number=1.902160583 | symbol=B_2 | OEIS=A065421 | 發現者=瑋哥·布朗 | other name= | type= | define=\sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}} \right)} | root of=…
弱哥德巴赫猜想
弱哥德巴赫猜想（），又称为奇数哥德巴赫猜想（）、三素数问题（），其表述为： :任一大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。 如果“強”哥德巴赫猜想成立，便可以推出此猜想，故这一猜想被称为“弱”哥德巴赫猜想。（强哥德巴赫猜想成立意味着大于等於4的偶数都可表示为两个素数之和，再加上3就可以使大于等於7的奇数表示为三个素数之和） 2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·賀歐夫各特，在线发表两篇论文宣布…
黎瑟尔数
黎瑟尔数（）是奇正整數k使得所有形式如k × 2n - 1的數均為合數。 1956年，Hans Riesel證明有無限多個合符這種條件的整數。他找到509203有這樣的性質。現時找到小於106的Riesel數有： 509203×2n-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241} 762701×2n-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241} 777149×2n-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73} 79…
黎曼猜想
黎曼猜想（，RH）由德国數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為： {{quote|黎曼ζ函數， \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots 。 非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6\cdots…
兰道-拉马努金常数
兰道-拉马努金常数（Landau–Ramanujan constant）是一個和數論有關的常數，對於一正整數x ，若x很大時，小於x且可以表示為二平方數和整數的個數和下式成正比 :x/{\sqrt{\ln(x)}}. 二者之間的比例即為兰道-拉马努金常数，分別由愛德蒙·蘭道及拉馬努金所發現。 若用N(x)表示小於於x，可表示為二平方數和整數的個數，則兰道-拉马努金常数K可表示為 :K = \lim_{x\rightarrow\infty…
椭圆曲线
[[Image:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|椭圆曲线列表。图中所示的区域为[-3,3]^2（当(a, b) = (0, 0)时函数不光滑，因此不是椭圆曲线。）]] 在數學上，橢圓曲線（，縮寫為EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定义 :y^2=x^3+ax+b\,， 且满足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（当的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线…
素数计数函数
在数学中，素数计数函数是一个用来表示小于或等于某个实数x的素数的个数的函数，记为\pi(x)。 历史 在数论中，素数计数函数的增长率引起了很大的兴趣。在18世纪末，高斯和勒让德曾猜想这个函数大约为： : x/\operatorname{ln}(x)\! 也就是 :\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\! 这就是素数定理。一个等价的表述，是： :…
克拉梅爾猜想
數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說： :\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2} = 1， 這裡p_n代表第n個素数。該猜想到現在仍未證出或被否證。 關於質數間隙的條件結果 克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有 :p_{n+1}-…
抽象解析数论
抽象解析数论（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。 算术半群 该理论涉及到一个基本概念，算术半群，是满足以下性质的交换幺半群G： G有一个可数子集P，使得G中的每个元素a \neq 1有唯一分解a=p_…
狄利克雷级数
在数学中，狄利克雷级数是如下形式的无穷级数： :\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, 其中s是一个复数，an是一个复数列。 狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。狄利克雷级数的名称来源于数学家約翰·彼得·狄利克雷。 例子 最有名的狄利克雷级数要数黎曼ζ函数了，即数列an恒等于 1 时的情…
自由黎曼氣體
自由黎曼气体模型（），又名素数子气体模型（）或素数气体模型（），是统计物理学和量子场论中的一个玩具模型。该模型刻画了素数理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系；后者的激发态被称为“素数子”（）。1990年，唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人彼此独立地提出了这一模型；随后，巴卡斯，博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型（例如弦论）之间的关联。 模型 考虑一个无相互作用的全同玻色子构成的量子系统。假设每个粒子有…
史特靈公式
史特靈公式（）是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以史特靈公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，史特靈公式的取值已經十分準確。這個公式以的名字命名，雖然亞伯拉罕·棣美弗早於史特靈提出了一個類似的公式，但結果較不精確。 史特靈公式为： :n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}. 这就是说，对于足够大的整数n，这两个数…
阿培里常数
{{Infobox number | name=阿培里常数 | nav=no | is integer = no | number= | symbol=\zeta(3) | value=\zeta(3)\approx1.202056903159594... | OEIS=A002117 | 發現者= | define=\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3} | type=無理數 | basedat…
狄利克雷定理
狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对(r,N)，模N同余r的质数集合\{x|r\equiv x\bmod N; x\ is\ prime\}相对质数集合\{x|x\ is\ prime\}的密度为\frac1{\phi(N)}。 定理内容 狄利克雷定理表明： : 若 r, N 互质，则\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x;N,r)}{\pi(x)}=\fra…
哈代-李特尔伍德第二猜想
哈代－李特尔伍德第二猜想（second Hardy–Littlewood conjecture）是數論中的一個猜想，是由數學家G·H·哈代及約翰·恩瑟·李特爾伍德提出，和區間內的質數個數有關，假設π(x)為小於等於x整數中的質數個數（素数计数函数），則哈代－李特尔伍德第二猜想為 :π(x + y) ≤ π(x) + π(y) 對於 x, y ≥ 2時成立。 和哈代－李特尔伍德第一猜想的關係 若哈代-李特尔伍德第二猜想成立，表示從x + …
布朗定理
布朗定理是一个数论中的定理，由挪威数学家维戈·布朗在1919年以篩法证明，而他為了證明此定理所開發的篩法即所謂的布朗篩法。 设P(x)为满足p ≤ x的素数数目，使得p + 2也是素数（也就是说，P(x)是孪生素数的数目）。那么，对于x ≥ 3，我们有： : P(x) 其中c是某个常数。 从这个结果可以推出，所有孪生素数的倒数之和收敛；也就是说，以下的级数 : \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mat…
狄利克雷特徵
在解析數論及代數數論中，狄利克雷特徵是一種算術函數，是 \mathbb Z / n \mathbb Z 的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。 定義 狄利克雷特徵指有下面性質、由整數到複數的函數： 存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k) 對於任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n) χ(1)=1 首個條件說明特徵是一個以k為周期的函數，其餘兩個條件說明它是完全積性函數…