數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說：
:\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2} = 1，
這裡p_n代表第n個素数。該猜想到現在仍未證出或被否證。
關於質數間隙的條件結果
克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有
:p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\,\ln p_n)。
另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，
:\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty.
改進了他的結果，並證明道
:\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}\cdot\frac{\left(\log\log\log p_n\right)^{2}}{ \log\log p_n \log\log\log\log p_n} > 0
艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由、、和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將該結果以\log \log \log p_n因子進行改進。
探索性論證
克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型之上的，在其中一個大小為的數是質數的機率是1/\log{x}。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。
根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向c \ge 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots（），其中\gamma是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亚诺什則認為該比值的上極限可能發散至無限；
類似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）寫道：
:「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數c>2而言，總存在一個常數，使得x和x+d(\log x)^c有一個質數。」
類似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）寫道：
:「事實上，由於格兰维尔的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」
相關猜想和探索
猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的漸近公式成立：
G(x)\sim \log^2 x
J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）則提出下列何質數間隙有關的公式：
G(x)\sim \log^2 x - \log x\log\log x
該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。
马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數\pi(x)表示的狀況下，最大質數間隙G(x)如下：
:G(x)\sim \frac{x}{\pi(x)}(2\log\pi(x)-\log x+c),
其中c=\log(C_2)=0.2778769...和C_2=1.3203236...是孿生質數常數的兩倍，可見和的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：
:G(x) \sim \log^2 x - 2\log x\log\log x - (1-c)\log x.
（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：
:R = \frac{\log p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}
他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，R的值都維持在1.13左右」。
參見
*質數定理
*勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
*菲鲁兹巴赫特猜想
*邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。
參考資料
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外部連結
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