狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对(r,N)，模N同余r的质数集合\{x|r\equiv x\bmod N; x\ is\ prime\}相对质数集合\{x|x\ is\ prime\}的密度为\frac1{\phi(N)}。
定理内容
狄利克雷定理表明：
: 若 r, N 互质，则\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x;N,r)}{\pi(x)}=\frac1{\phi(N)}
: 其中，\phi(N)为欧拉函数，\pi(x)为质数计数函数，\pi(x;N,r)为模N同余r集合中小于x的质数个数。
质数在同余类中的分布
狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。
形象地说，在模N同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。
- 以N=6为例：共有[0],[1],[2],[3],[4],[5]共6个模N同余集合，其中同余集合[0], [2], [3], [4]不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合[1], [5]中：
: 在不大于10,000的质数中，质数在[1], [5]中的比率分别为49.67\%和50.16\%；
: 在不大于100,000的质数中，质数在[1], [5]中的比率分别为49.88\%和50.10\%；
: 在不大于1,000,000的质数中，质数在[1], [5]中的比率分别为49.98\%和50.02\%。
- 以N=8为例：共有[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7] 共8个模N同余集合，其中同余集合[0], [2], [4], [6]不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合[1], [3], [5], [7]中：
: 不大于10,000的质数中，质数在[1], [3], [5], [7]中的比率分别为23.98\%, 25.28\%, 25.53\%和25.12\%；
: 在不大于100,000的质数中，质数在[1], [3], [5], [7]中的比率分别为24.85\%, 25.12\%, 25.01\%和25.01\%；
: 在不大于1,000,000的质数中，质数在[1], [3], [5], [7]中的比率分别为24.91\%, 25.04\%, 25.00\%和25.06\%；
相關定理
- 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如2n+1。
- 算術級數的質數定理：若a,d互質，則有
: \sum_{p \le x \quad p \equiv a \pmod{d} } 1 \sim \frac{1}{\phi(d)} \frac{x}{\ln(x)} 。
其中φ是歐拉函數。取d=2，可得一般的質數定理。
- 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數a+nd中最小的質數少於cd^L，其中L和c均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
- 是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。
歷史
歐拉曾以\sum \frac{1}{p} = \infty，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明\sum_{p \equiv a \pmod{d} } {1/p} = \infty來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。
推廣
這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的猜想而已，並不是定理。
- 布尼亞科夫斯基猜想，推廣至>=2次的多項式
- 狄克森猜想，推廣至>=2個多項式
- 欣策爾假設H，上述兩個推廣合併
參考
- T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
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