概率数论
概率数论（）是数论的一个分支，它显式地利用概率论的方法和概念来回答关于整数和算术函数（Integer-valued functions）的问题。 该理论的一个基本思想是，在某种严格的意义上，不同的素数就像是独立随机变量。然而，这并不是一个拥有单一且唯一形式化定义的思想，而是一种理解数论问题的视角。 该理论的创始人包括1930年代的埃尔德什·帕尔、奥雷尔·温特纳和马克·卡茨。这一时期也是解析数论调查研究的高峰期。该领域的基础性成果包括图兰…
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共 53 篇文章
累积量
在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量()是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。 对于随机变量X而言，一阶累积量等于期望值E(x)，二阶累积量等于方差V(x)，三阶累积量等于三阶中心矩S(x)，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的 n阶累积…
赌徒破产理论
赌徒破产理论被用在一系列相关的统计事件中。 最初的意思是，一个赌徒如果每次赢了后都把他的赌注增加到他全部赌本的一个固定份额，但是在输了以后又不减少，那么即使他在每次下赌注都有一个正的期望值，他最终也将破产。 另一个通常的意思是，一个拥有有限赌本的赌徒玩一场公平的游戏（即每次游戏双方的期望值都是零），在一个拥有无限赌本的对手面前，最终将破产。 *上述结果是由克里斯蒂安·惠更斯提出的理论的推论，也被称为是“赌徒破产理论”。这个理论给出了在给…
较大的偏差原理
较大的偏差原理 在概率论中，大偏差理论涉及远程尾巴概率分布的序列渐近行为。理论的一些基本思路可以追溯到拉普拉斯和克拉美，但一个明确和统一的正式定义是在1966年推出，在一份文件Varadhan的[1]大偏差理论形式化浓度的措施，并广泛启发式的想法推广收敛概率测度的概念。
母函数
在数学中，某个无穷序列(a_n)_{n \in \mathbb{N}} 的母函数（又称生成函数，）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。母函数一般用有关原始序列进行操作后得到的封闭形式表示，而非一个序列。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、朗伯级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对任何序列理论上都可以写出以上每个类型的一个母函数（除了朗伯级数和狄利克雷级数需要序列从a_1而非a_0开始），但是选用不同形式来…
遍历理论
遍历理论（）是研究具有的动力系统及其相关问题的一个数学分支。 遍历理论研究遍历变换，由试图证明统计物理中的而来。 遍历变换 概率空间上的一个保测变换T 称为遍历的，如果在T 下不变的可测集的测度必为0或1。这个性质的一个旧术语是度量推移的。 遍历的定义 考虑适定的函数f的时间平均。这定义为从某个初始点x开始的时间间隔T的取值的平均。 : \hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n…
概率论
機率論（）是研究概率、隨機性及不確定性等現象的數學分支。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。 单个随机事件的结果通常无法准确预知；不过，对于一系列相互独立的随机事件，例如掷骰子、扔硬幣、抽撲克牌或转动輪盤，长期结果会呈现可供研究和预测的规律。描述这些规律的代表性数学结论包括大數法則和中心极限定理。 ，出現3點的概率是多少？」]] 作为统计学的数学基础，概率论对诸多涉及大量数据定量分析的人类活动极为重要，概率论的方法同样适…
几乎必然
在概率论中，如果一个事件发生的概率是1（或在勒贝格测度下是1），则称该事件几乎必然（，缩写为a.s.）发生。换句话说，此事件不发生所对应的事件集合可能是非空的，但该集合的概率是0。在测度论中，与本概念相似的概念是几乎处处。 很多时候，在有限样本空间的概率试验中，几乎必然和必然是没有区别的（因为概率等于1的事件通常会包含样本空间中的所有样本）。但两者的区别对于样本空间是无穷集时就显得很重要了，因为无穷集的非空子集的概率可以是0。 强大数定…
概率测度
概率测度是概率空间中定义在一个事件集合上的、满足测度性质（例如可列可加性）的实值函数。概率测度与一般意义上的测度（包括类似面积或体积等概念）的区别在于，概率测度之于整个概率空间的值必须等于1。 从直觉上来看，概率测度的可加性意味着两个不相交事件的并集的概率测度值应等于这两个事件各自的概率测度值之和，例如“掷骰子得到1或2”这一事件的测度值应等于“掷骰子得到1”的测度值与“掷骰子得到2”的测度值之和。 参考文献
標準矩
在機率論和統計學中，一個機率分布的標準矩是經過標準化後的中心矩（通常是較高階的中心矩）。標準化通常是將其除以標準差的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致， 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。 定義 設X為一隨機變量，其機率密度函數為f、平均值為 \mu = \mathrm{E}[X] (一階原點矩)，則第k階標準矩為\frac{\mu_k}{\sigma^k}\!， 其中\mu_k是第k階中心矩： : \mu_k =…
马尔可夫链
马尔可夫链（），又稱離散時間馬可夫鏈（discrete-time Markov chain，縮寫為DTMC），因俄國數學家安德烈·马尔可夫得名，为狀態空間中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作馬可夫性質。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。 在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以…
朴素贝叶斯分类器
，在机器学习中是一系列以假设特征之间强（朴素）独立下运用贝叶斯定理为基础的简单。 單純貝氏自1950年代已广泛研究，在1960年代初就以另外一个名称引入到文本信息检索界中，它在自动医疗诊断中也有应用。 單純貝氏分类器是高度可扩展的，因此需要数量与学习问题中的变量（特征/预测器）成线性关系的参数。最大似然训练可以通过评估一个封闭形式的表达式来完成，所有这些名称都参考了贝叶斯定理在该分类器的决策规则中的使用，但單純貝氏不（一定）用到贝叶斯方…
后验概率
在贝叶斯统计中，一个随机事件或者一个不确定事件的后验概率（Posterior probability）是在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率。同样，后验概率分布是一个未知量（视为随机变量）基于试验和调查后得到的概率分布。“后验”在本文中代表考虑了被测试事件的相关证据。 定义 后验概率是在给定证据X后，参数\theta的概率：p(\theta|X)。 与似然函数相对，其为在给定了参数\theta后，证据X的概率：p(X|\thet…
無限猴子定理
隨機地打字，只要时间足够，幾乎必然可以打出法國國家圖書館中的每本書。]] 無限猴子定理（）的表述如下：让一只猴子在打字机上随机地按键，当按键时间达到无穷时，几乎必然能够打出任何给定的文字，比如莎士比亚的全套著作。 在这里，几乎必然是一个有特定含义的数学术语，“猴子”也不是一只真正意义上的猴子，它被用来比喻成一个可以产生无限随机字母序列的抽象设备。这个理论说明把一个很大但有限的数看成无限的推论是错误的。猴子精确地通过键盘敲打出一部完整的作…
非交换概率空间
在数学的分支概率论和算子代数中，非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间，其定义为一个有单位元的代数 \mathcal A ，其上配备有一个保单位元的线性泛函 \phi 。 \mathcal A 中元素可视为是非交换版本的随机变量，而 \phi 则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出等概念。 非交换概率空间…
互斥
在逻辑学中，互斥（Mutually Exclusive）是一种逻辑关系，指几个变量或事件之中的任一个不可能与其他一个或多个同时为真，或同时发生的情况。对于逻辑函数，其变量互斥，意味着两个以上变量为真（包括都不为真）的情况会导致函数值为假。对于事件，其所有条件的互斥意味着，任两个条件的实现都将阻止事件的产生。同样可以引申到程序编写及其他关系。 比如一个最简单的情况下，投掷一枚硬币，硬币不可能同时出现既为正也为反；两个结果互斥。 而在機率論…
相对熵
KL散度（，簡稱KLD），在訊息系统中称为相对熵（relative entropy），在连续时间序列中称为随机性（randomness），在统计模型推断中称为訊息增益（information gain）。也称訊息散度（information divergence）。 KL散度是两个機率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的分布来编码服从P的分布的样本所需的额外的平均比特数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表…
機率積分轉換
在概率論中，機率積分轉換又稱萬流歸宗 (Probability integral transform；Universality of the Uniform) 說明若任意一個連續的隨機变量 (c.r.v)，當已知其累積分布函數 (cdf)為Fx(x)，可透過隨機变量轉換令Y=Fx(X)，則可轉換為一 Y～U(0,1) 的均勻分佈。換句話說，若設 Y 是 X 的一個隨機变量轉換，而恰好在給定 Y 是其累積分布函數 (cdf) Fx(X) …
贈券收集問題
贈券收集問題(Coupon collector's problem) 是機率論中的著名題目，其目的在解答以下問題： :假設有n種贈券，每種贈券獲取機率相同，而且贈券亦無限供應。若取贈券t張，能集齊n種贈券的機率多少？ 計算得出，平均需要\Theta(n\ln(n))次才能集齊n種贈券——这就是赠券收集问题的时间复杂度。例如n = 50時大約要取 50\ln(50)+50\gamma+1/2 \approx 195.6011+28.860…
中心矩
在概率论或者统计学中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的動差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。 定義 对于一维随机变量X，其k阶中心矩\mu_k为相對於X之期望值的k阶矩： :\mu_…