中心矩

在概率论或者统计学中，主動差（Central Moment，或稱中央動差，其中-{zh-hans:矩;zh-tw:動差}-亦被稱作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-）是关于某一个随机变量平均值构成随机变量的概率分布的動差。中心矩可以反应概率分布的特征，由于高阶中心矩仅与分布的分布和形状有关，而不与分布的位置有关，所以相比原点矩使用更广泛。

定義
对于一维随机变量X，其k阶中心矩\mu_k为相對於X之期望值的k阶矩：
:\mu_k = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])^k]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^k f(x) dx

前幾階中心矩具有較直觀的意義。

• 第0階中心矩\mu_0恆為1。
• 第1階中心矩\mu_1恆為0。
• 第2階中心矩\mu_2為X的方差\operatorname{Var}(X)。
• 第3階中心矩\mu_3用於定義X的偏度。
• 第4階中心矩\mu_4用於定義X的峰度。

性質

• 中心矩具有平移不變性。對於任意的隨機變量X和任意常數c，恆有：

:\mu_n(X+c)=\mu_n(X)

• n階中心矩是n次齊次函數。

:\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X)

• 只有當n\in\{1,2,3\}，且X和Y為兩個互相獨立的隨機變量時，中心矩才具有加法性。

:\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)
另一個與中心矩類似，但在n\geq 4時仍保有加法性的統計量為n階累積量\kappa_n。