在数学的分支概率论和算子代数中，非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间，其定义为一个有单位元的代数 \mathcal A ，其上配备有一个保单位元的线性泛函 \phi 。 \mathcal A 中元素可视为是非交换版本的随机变量，而 \phi 则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出等概念。
非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构，非交换概率论可应用在谱理论、随机矩阵和量子力学中。
动机
随机变量代数与期望
测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间 (\Omega,\Sigma,\mathbb P) ，即一个总测度为一的（正）测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数，而随机变量的期望则是其勒貝格積分。
现在考虑全体本质有界的随机变量，它们构成了一个 \R 上的代数，这里简单记作 L^\infty 。在这个代数上，期望映射 \mathbb E:L^\infty\to\R 是唯一能满足 \forall X\in\Sigma,\ \mathbb E(1_X)=\mathbb P(X) 且给出单调收敛性质的线性映射，其中 1_X 表示 X 的指示函数。反过来，若具有单调收敛性质的非负线性映射 \mathbb E:L^\infty\to\R 满足 \mathbb E(\mathbf 1)=1 （其中 \mathbf 1 是值为一的常函数，即 L^\infty 上的乘法单位元），则可用 \forall X\in\Sigma,\ \mathbb E(1_X)=\mathbb P(X) 一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上，随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助，还可建立在单调收敛下封闭的 \Omega 上的有界函数代数与 L^\infty 的一一对应。
对事件空间地位的降低，以及对代数性质的强调，使得概率论可以有较明显的推广方案，来兼容非交换的随机变量。
量子概率与*-代数
分析性质
定义
非交换概率空间
(\mathcal A,\phi) 是一代数非交换概率空间，若 \mathcal A 是 \C 上的一个有单位元 1_\mathcal A 的代数， \phi:\mathcal A\to\C 是 \mathcal A 上一个满足 \phi(1_\mathcal A)=1 的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况。
非交换*-概率空间
(\mathcal A,\phi) 是一*非交换-概率空间**，若 (\mathcal A,\phi) 是一个代数非交换概率空间，且满足：
- \mathcal A 是一个*-代数；
- \phi 是一个正映射，也就是说 \mathcal A 中的正元总是被映为非负实数，或者等价地说\forall a\in\mathcal A,\quad \phi(a^*a)\geq0.这个条件结合 \phi(1_\mathcal A)=1 意味着 \phi 是一个。
非交换C*-概率空间
(\mathcal A,\phi) 是一*非交换C-概率空间*，若 (\mathcal A,\phi) 是一个非交换-概率空间，且满足：
- \mathcal A 是一个C*-代数；
- 态 \phi 是非退化的，也就是说 \|a\|_\infty=0\implies a=0.
上面的 \|\cdot\|_\infty 是一个 \phi 诱导的半范数，定义为\forall a\in\mathcal A,\quad\|a\|_\infty=\sup\{\|ax\|_2|x\in\mathcal A\land\|x\|_2\leq1\}, 形式上它类似于左乘映射 x\mapsto ax 的算子范数。一些作者不要求 \phi 为非退化的，因为总是可商去满足 \|a\|_\infty=0 的元素所构成的*-理想使其成为非退化的。
非交换W*-概率空间
(\mathcal A,\phi) 是一*非交换W-概率空间*，若 (\mathcal A,\phi) 是一个非交换C-概率空间，且满足：
- \mathcal A 是一个W*-代数；
- 态 \phi 是正规的。或者等价地说， \phi 是超弱连续的。
值得一提的是，即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求，如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。
参考文献
文内引注
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