標準矩

在機率論和統計學中，一個機率分布的標準矩是經過標準化後的中心矩（通常是較高階的中心矩）。標準化通常是將其除以標準差的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致， 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。

定義
設X為一隨機變量，其機率密度函數為f、平均值為 \mu = \mathrm{E}[X] (一階原點矩)，則第k階標準矩為\frac{\mu_k}{\sigma^k}\!， 其中\mu_k是第k階中心矩：
: \mu_k = \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^k \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\mathrm{d} x
\sigma^k為標準差的k次方：
: \sigma^k = \Bigl(\sqrt{\mathrm{E}[(X - \mu)^2]}\Bigr)^k
以通式表示：
:\hat{\mu}_k = \frac{\mu_k}{\sigma^k} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^k \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{k/2}}

性質

• 中心矩為k次齐次函数：\mu_k(\lambda X) = \lambda^k \mu_k(X)
• 標準矩具有縮放不變性。不過乘以負的\lambda值時標準矩需要乘上負號。
• 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為无因次量。

常用的標準矩
以下列出前4個標準矩：

參見

• 中心矩
• 矩

參考資料