塞邁雷迪定理
在中，塞邁雷迪定理（）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。 定理敍述 若自然数集的子集 A 滿足 :\limsup_{n \to \infty}\frac{n} > 0, 則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有…
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堆垒数论
在数论中，堆垒数论（additive number theory）也稱為堆疊數論或加性數論，研究整數的子集合，以及其在加法下的特性。堆垒数论的領域也包括對於有加法的阿贝尔群及的研究。堆垒数论和組合数论及几何数论有密切的關係。其中主要研究的二個物件分別是阿贝尔群G中二個子集A及B的和集 :A + B = \{a+b : a \in A, b \in B\}, 以及A的h重和集 :hA = \underset{h}{\underbrace{…
華林問題
华林问题（）是数论中的问题之一。1770年，爱德华·华林猜想，对于每个非1的正整数k，皆存在正整数g(k)，使得每个正整数都可以表示为g(k)个非負整數的k次方之和。 與四平方和定理之關係 在三世纪時，数学家丢番图首先提出「是否每一個正整數都是四個平方數之和」的問題。1730年，欧拉開始研究該問題，但未得出證明。 第一个給出完整证明的是拉格朗日，他的证明用了欧拉的一个公式： :(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+…
弱哥德巴赫猜想
弱哥德巴赫猜想（），又称为奇数哥德巴赫猜想（）、三素数问题（），其表述为： :任一大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。 如果“強”哥德巴赫猜想成立，便可以推出此猜想，故这一猜想被称为“弱”哥德巴赫猜想。（强哥德巴赫猜想成立意味着大于等於4的偶数都可表示为两个素数之和，再加上3就可以使大于等於7的奇数表示为三个素数之和） 2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·賀歐夫各特，在线发表两篇论文宣布…
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想（）是數論中存在最久的未解問題之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陳述為： : 这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而將一个給定的偶數分拆成兩個質數之和，则…
兰道-拉马努金常数
兰道-拉马努金常数（Landau–Ramanujan constant）是一個和數論有關的常數，對於一正整數x ，若x很大時，小於x且可以表示為二平方數和整數的個數和下式成正比 :x/{\sqrt{\ln(x)}}. 二者之間的比例即為兰道-拉马努金常数，分別由愛德蒙·蘭道及拉馬努金所發現。 若用N(x)表示小於於x，可表示為二平方數和整數的個數，則兰道-拉马努金常数K可表示為 :K = \lim_{x\rightarrow\infty…
平方和定理
在數論中，平方和定理（sum of two squares theorem）將任意整數 的質因數分解與其是否能寫成兩個平方數之和聯繫起來，即存在整數 , 使得 。 一個大於一的整數可以寫成兩平方數之和，若且唯若它的質因數分解中不包含任何形如 的因子，其中質數 p \equiv 3 \pmod 4 且 為奇數。 在將一個數寫成平方和時，允許其中一個平方為零，或兩者相等，因此所有平方數以及平方數的兩倍都包含在可表示的數中。此定理推廣了費馬平…
费马平方和定理
費馬平方和定理是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。 内容 費馬平方和定理的表述是：奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该質數被4除余1。 如5 = 1^2 + 2^2 那麼 5\equiv1 \pmod{4}，反之亦然。 该命题的必要条件是显然的，因为奇數的平方除以4必餘1，偶數的平方除以4必餘0。即若两个平方数之和为奇数，…
四平方和定理
四平方和定理 （） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 历史 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个以下的恒等式： (a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2 根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其…
勒穆瓦纳猜想
勒穆瓦纳猜想（）或稱為李維猜想，是數論中的未解問題之一，其型式類似弱哥德巴赫猜想。其陳述為： : 任一大於5的奇數，都可表示成一個質數及偶半質數之和。 若以數學式表示，則對於每一個大於2的整數n，都可以找到相異的質數p和q，滿足以下的方程式： : 2n + 1 = p + 2q 歷史 此猜想是由在1895年提出，但MathWorld誤認為其提出者是1960年代探討此問題 孙智伟在2008年曾提出類似的猜想：所有大於3的奇數都可以表示為質…
施尼勒尔曼密度
設集合A \subseteq \mathbb{Z}，A(n) = |A \cap \{1, 2, \ldots , n \} |，A中不大於n的元素的數目。施尼勒尔曼密度（Schnirelmann density）函數\sigma : \mathcal{P}( \mathbb{Z}) \to [0,1]，或A的施尼勒尔曼密度定義為： : \inf_n \frac{A_n}{n} 其中inf表示最大下界。若使用\lim_{n \to \i…
费马多边形数定理
费马多边形数定理说明，每一个正整数最多可以表示为n个n-边形数的和。也就是说，每一个数最多可以表示为三个三角形数之和、四个平方数之和、五个五边形数之和，依此类推。 一个三角形数的例子，是17 = 10 + 6 + 1。 一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为四个平方数之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1。 拉格朗日在1770年证明了平方数的情况，高斯在1796年证明了三角形数的情况，在1813年，柯西…
15-定理
15-定理是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway，1937-2020）和W.A.Schneeberger於1993年證明的定理，內容為如果一个二次多項式可以通過變量取整數值而表示出1~15的值（更嚴格的結論是只要表示出1,2,3,5,6,7,10,14,15）的話（例如w^2+x^2+y^2+z^2），該二次多項式可以通過變量取整數值而表示出所有正整數。