塞邁雷迪定理

在中，塞邁雷迪定理（）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。

定理敍述
若自然数集的子集 A 滿足

:\limsup_{n \to \infty}\frac{n} > 0,

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。

定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 \delta \in (0, 1], 都存在正整數

:N = N(k,\delta)

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。

定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

:r_k(N) = o(N).

換言之，rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。

歷史
范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。

塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞迈雷迪·安德烈利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。

塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论給出的證明，以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析和组合数学給出的證明。陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。

rk(N) 的具體大小
rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

:CN\exp\left(-n2^{(n - 1)/2}\sqrt[n]{\log N} + \frac{1}{2n}\log \log N\right) \leq r_k(N) \leq \frac{N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k + 9}}}},

其中 n = \lceil \log k\rceil.歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界 ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)、，以及埃爾金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高爾斯證出。、希斯-布朗、塞邁雷迪，以及湯姆·桑德斯依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

:N2^{-\sqrt{8\log N}} \leq r_3(N) \leq C\frac{(\log \log N)^4}{\log N}N.

兩邊的界限分別由歐布萊恩 給出。

當 k = 4 時，本·格林和陶哲軒 證明了存在 c > 0 使得

:r_4(N) \leq C\frac{N}{(\log N)^c}.

推廣
希勒尔·菲尔斯滕贝格和利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。 高爾斯、和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和 ，和陶哲軒給出了各自的組合學證明。

亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和 給出定理對多項式列的推廣：若 A \subset \mathbb{N}的上密度為正，且 p_1(n),p_2(n),\dotsc,p_k(n)為滿足 p_i(0) = 0的，則存在無窮多組 u, n \in \mathbb{Z}使得對1 \leq i \leq k都有 u + p_i(n) \in A. 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。

塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。 所謂問題，就是要找出向量空間 \mathbb{F}_3^n所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。

格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。，和趙宇飛 (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。

埃尔德什等差数列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

參見
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*塞邁雷迪正則性引理

參考資料
延申閱讀
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外部鏈結

• [http://www.math.ucla.edu/~tao/whatsnew.html Announcement by Ben Green and Terence Tao] – the preprint is available at [https://web.archive.org/web/20170710061159/http://front.math.ucdavis.edu/math.NT/0404188 math.NT/0404188]
• [http://in-theory.blogspot.com/2006/06/szemeredis-theorem.html Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5)]
• Ben Green and Terence Tao: [http://www.scholarpedia.org/article/Szemeredi%27s_Theorem Szemerédi's theorem] on Scholarpedia

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