塞邁雷迪定理
在中，塞邁雷迪定理（）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。 定理敍述 若自然数集的子集 A 滿足 :\limsup_{n \to \infty}\frac{n} > 0, 則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有…
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中国剩余定理
中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。该定理在中国古代也被称为「韓信點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔-{zh-cn:墻;zh-tw:牆;}-算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」等。 物不知数 一元线性同余方程组问题最早可见于中國南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孫子算經》卷下第二…
庫默爾定理
在數學裡，庫默爾定理能計算给出的二项式的係數的 p-進賦值，即\binom nm含p的幂次。 本定理以恩斯特·庫默爾命名。 定理 庫默爾定理指出，給定整数 n\geq m\geq 0和一个質數 p, p-adic賦值 \nu_p\left( \tbinom n m \right) 等於以 p 為基底時m加 n-m的進位次數。 例子 要计算 \nu_2\left(\tbinom{10}{3}\right)，写出 m=3 和 n-m=7 的…
谷山-志村定理
谷山-志村定理（）建立椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。 定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯、理查·泰勒、法國數學家、美國數學家和所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 :ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也…
莫德尔猜想
莫德爾猜想（Mordell conjecture），又稱法爾廷斯定理（Faltings's theorem），是一個由提出的算術幾何猜想，這猜想認為，任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格尔德·法尔廷斯所證明，並從此改名為法爾廷斯定理，而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。 背景 設C為一個的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線，則C上的有理點可由下列關係決定： 當g = 0時，C要不沒有有理點，…
平方和定理
在數論中，平方和定理（sum of two squares theorem）將任意整數 的質因數分解與其是否能寫成兩個平方數之和聯繫起來，即存在整數 , 使得 。 一個大於一的整數可以寫成兩平方數之和，若且唯若它的質因數分解中不包含任何形如 的因子，其中質數 p \equiv 3 \pmod 4 且 為奇數。 在將一個數寫成平方和時，允許其中一個平方為零，或兩者相等，因此所有平方數以及平方數的兩倍都包含在可表示的數中。此定理推廣了費馬平…
费马平方和定理
費馬平方和定理是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。 内容 費馬平方和定理的表述是：奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该質數被4除余1。 如5 = 1^2 + 2^2 那麼 5\equiv1 \pmod{4}，反之亦然。 该命题的必要条件是显然的，因为奇數的平方除以4必餘1，偶數的平方除以4必餘0。即若两个平方数之和为奇数，…
林德曼-魏尔斯特拉斯定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果a_1,\ldots,a_n 是代数数，在有理数 内是线性独立的，那么e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}在 内是代数独立的；也就是说，扩张域\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})在 内具有超越次数 。 一个等价的表述是：如果a_1,\ldots,a_n是不同的代数数，那么指数e…
Ε-猜想
在数学中，Ribet定理（，以前稱為ε猜想）是數論中關於與模形式相關的性質的陳述。它由讓-皮埃爾·塞爾提出並由肯尼斯·阿蘭·黎貝證明。ε猜想的證明是證明費馬大定理的重要一步。如Serre和Ribet所示，谷山－志村定理（當時未解決的狀態）和ε猜想意味著費馬大定理是正確的。 在數學術語中，Ribet定理表明，如果與橢圓曲線相關的伽羅瓦表示具有某些特性，那麼該曲線不能是模形式的（在不存在產生相同伽羅瓦表示的模形式的意義上）。 另見 Abc猜…
五邊形數定理
五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數\phi(q)展開式的特性 。歐拉函數的展開式如下： :\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}{2}}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}} 亦即 :(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x -…
二次互反律
在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程x^2 \equiv p \pmod q 之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程x^2 \equiv p \pmod q 可解和 x^2 \equiv q \pmod p 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际…
贝亚蒂定理
在数论中，贝亚蒂定理（），又稱瑞利定理（）指：若 p,q \in \mathbb{R^+} ,p,q \not\in \mathbb{Q} 使得 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，它們所生成的贝亚蒂數列（）P = \{\lfloor np \rfloor : n \in\mathbb Z^+ \}, Q=\{\lfloor nq \rfloor : n \in\mathbb Z^+\}，构成正整数集的一个劃分：…
狄利克雷逼近定理
狄利克雷逼近定理（）是数论中关于丢番图逼近的一个定理。该定理可表述为：对于任意实数 \alpha 和 N （ 1 \leq N ），都存在整数 p 和 q ，满足 1 \leq q \leq N 以及 : \left | q \alpha -p \right | \leq \frac{1}{[N]+1} 其中 [N] 表示 N 的整数部分。这是丢番图逼近的一个重要结果，表明任意实数都存在一系列良好的有理近似：事实上，该定理的一个直接结果…
费马大定理
費馬大定理（亦名费马最後定理，，），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬最后定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很…
四平方和定理
四平方和定理 （） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 历史 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个以下的恒等式： (a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2 根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其…
卡塔蘭猜想
卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和。 此定理斷言除了8=2^3，9=3^2，沒有兩個連續整數都是正整數的幂（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。 歷史 在卡塔蘭之前已有人考慮過…
格尔丰德-施奈德定理
格尔丰德-施奈德定理（）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。 表述 如果\alpha和\beta是代数数，其中\alpha \notin \{0, 1\}，且\beta不是有理数，那么任何\alpha^{\beta} = e^{\{\beta \log \alpha\}}的值一定是超越数。 评论 \alpha 和 \b…
歐幾里得-歐拉定理
數學上，歐幾里得-歐拉定理（）是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成2^{p-1}(2^p-1)，其中2^p-1是質數。形如2^p-1的質數稱為梅森質數，因此其中的p必須是質數。 定理敘述 一個偶數是完全數（即等於它的所有真因數的和），當且僅當它有形式2^{p-1}M_p，其中M_p是梅森質數，即形為M_p=2^p-1 的質數。 歷史 歐幾里得證明當2^p-1是質數時，2^{p-1}(2^p-1)是完全數（…
欧拉定理 (数论)
在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉{\varphi}函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a 互質}-（即\gcd(a,n)=1），则 a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n 即a^{\varphi(n)}与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。 欧拉定理实际上是费马小定理的推广。 例子 首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5…
齊肯多夫定理
齊肯多夫定理表示任何正整數都可以表示成若干個不連續的斐波那契數之和。這種和式稱為齊肯多夫表述法。 對於任何正整數，其齊肯多夫表述法都可以用貪心算法選出每回最大可能的斐波那契數。 證明 以F_n來表示斐波那契數。m為任意正整數。 #若m是斐波那契數，命題成立 #考慮最大的n_1滿足F_{n_1} #m'=m-F_{n_1} #考慮最大的n_2滿足F_{n_2} #m=m'-F_{n_2} #反證法：若n_1=n_2 + 1： #F_{n_…