林德曼-魏尔斯特拉斯定理（）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果a_1,\ldots,a_n 是代数数，在有理数 内是线性独立的，那么e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}在 内是代数独立的；也就是说，扩张域\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})在 内具有超越次数 。
一个等价的表述是：如果a_1,\ldots,a_n是不同的代数数，那么指数e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}在代数数范围内是线性独立的。
这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数\alpha，e^\alpha都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。
这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。
e和π的超越性
e和π的超越性是这个定理的直接推论。
假设\alpha是一个非零的代数数，那么\left \{ \alpha \right \}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，\left \{ e^\alpha \right \}是一个代数独立的集合，也就是说，e^\alpha是超越数。特别地，e^1=e是超越数。
另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果\alpha是一个非零的代数数，那么\left \{ 0,\alpha \right \}就是不同的代数数的集合，因此集合\{e^0,e^\alpha\}=\{1,e^\alpha\}在代数数范围内是线性独立的，特别地，e^\alpha不能是代数数，因此一定是超越数。
现在，我们来证明\pi是超越数。如果π是代数数，2\pi i也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，
e^{2\pi i}（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。
把这个证明稍微改变以下，可以证明如果\alpha是一个非零的代数数，那么\sin (\alpha)、\cos (\alpha)、\tan (\alpha)和它们的双曲函数也是超越数。
p进数猜想
p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}是p进数，它们都是代数数，且在'内线性独立，使得对于所有的i，都有|\alpha_i|_p 。那么p进指数e^{\alpha_1}, \ldots, e^{\alpha_n}在'内是代数独立的。
参见
*证明e是无理数
*证明π是无理数
参考文献
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外部链接
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