超越數
在數論中，超越數（）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 定義 超越數是代數數的相反，也即是說若x是一個超越數，那麼對於任何整數a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0都符合： :a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldo…
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林德曼-魏尔斯特拉斯定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果a_1,\ldots,a_n 是代数数，在有理数 内是线性独立的，那么e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}在 内是代数独立的；也就是说，扩张域\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})在 内具有超越次数 。 一个等价的表述是：如果a_1,\ldots,a_n是不同的代数数，那么指数e…
格尔丰德-施奈德定理
格尔丰德-施奈德定理（）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。 表述 如果\alpha和\beta是代数数，其中\alpha \notin \{0, 1\}，且\beta不是有理数，那么任何\alpha^{\beta} = e^{\{\beta \log \alpha\}}的值一定是超越数。 评论 \alpha 和 \b…