在數論中，超越數（）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。
幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。
定義
超越數是代數數的相反，也即是說若x是一個超越數，那麼對於任何整數a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0都符合：
:a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \ne 0
（其中a_n\neq 0）
例子
超越數的例子包括：
*錢珀瑙恩數
- 刘维尔数：\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots
它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。
- 自然對數底\boldsymbol{e}（参见：e）。
- \boldsymbol{e}^a ，其中a是除0以外的代數數。
- \boldsymbol{\pi}（参见：圓周率）
林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因\pi \,是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
- \boldsymbol{e^{\pi}}（参见：e的π次方）
- 2^{\sqrt{2}}（参见：2的√2次方）。
更一般地，若a \,為零和一以外的任何代數數及 b \,為無理代數數則a^b \,必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
- \sin 1 \,（参见：正弦）
- \ln a \,（参见：自然对数），其中a \,為一不等于1的正有理數。
- \mathbf{W}(a)\,（参见：朗伯W函數），其中a \,為一正有理數。
- \Gamma (\frac{1}{3}) \, \left(\approx 2.67894 \right) \,，\Gamma (\frac{1}{4}) \, \left(\approx 3.62561 \right) \,及\Gamma (\frac{1}{6}) \, \left(\approx 5.56632 \right) \,（參見伽傌函數）。
所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连\pi + e\,是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。
超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。
可能的超越數
以下數仍待證明為超越數或代數數：
- 數 e 和\pi的大多數和、積、冪等等，例如\pi + e, \pi - e, \pi e, \frac{\pi}{e}, \pi^{\pi}, e^e, \pi^e, \pi^{\sqrt{2}}, \pi^{\pi^2}尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是\pi + e^\pi, \pi e^\pi和 e^{\pi\sqrt{n}}（對於所有正整數 n）已被證明是超越數
- 欧拉-马歇罗尼常数\gamma，尚未被證明是無理數
- 卡塔兰常数，未被證明是無理數
- 阿培里常数\zeta(3) ，是无理数
- 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，\zeta(5), \zeta(7), \ldots（尚未被證明是無理數）
- 費根鮑姆常數，\delta與\alpha，皆未证明是否为无理数
- 米尔斯常数，未证明是否为无理数
- 辛钦常数，未证明是否为无理数
- 科普兰-埃尔德什常数，是无理数
猜想：
*
*
簡要地證明e是超越數
第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：
為尋找矛盾，假設e是代數數。那就存在一個有限的整係數集c_0, c_1, \ldots, c_n滿足下列等式：
:c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.
現在對於一個正整數k，我們定義如下的多項式：
: f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},
並在上述等式的兩端乘上
:\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,
於是我們得到等式：
:c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.
該等式可以寫成這種形式
:P+Q=0
其中
:P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right )
:Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right )
引理 1. 對於恰當選擇的k， \frac{P}{k!} 是非零整數。
證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出
:\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!
對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函数）。
它是非零的，因為對於每一個滿足 0c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx
中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 后， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和
:\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx
其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。
現在我們只須考慮a=0的項。我們有：
:\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx
於是
:{\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).
通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數，我們可以得出 \tfrac{P}{k!} 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。
引理 2. 對於充分大的 k ， \left|\tfrac{Q}{k!}\right| 。
證明： 注意到
:f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\cdots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right )
使用 |x(x-1)\cdots(x-n)| 和 |(x-1)\cdots(x-n)e^{-x}| 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出
:|Q|
由於
:\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0
我們有
:\lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0
這點足以完成對引理的證明。
注意可以選擇滿足兩個引理的k，從而我們能得出矛盾。進而得以證明e的超越性。
馬勒的分類
在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。
實數的無理性度量
一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數x，可以使得一次多項式\vert qx-p \vert盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的p , q是滿足\vert p \vert, \vert q \vert以正整數H為界的整數。
令m(x,1,H)為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：
:\omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}
:\omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).
\omega(x, 1)常稱為實數x的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數\omega(x, 1)=0，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。
複數的超越性度量
接下來考慮多項式對於複數x的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為n，而且至多為H，此處的n, H是正整數。
令m(x,n,H)為以x為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：
:\omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}
:\omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).
假如對於盡可能小的正整數n，\omega(x,n)為無窮大，則這種情況下複數x稱為n次的U數。
現在我們可以定義
:\omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).
\omega (x)常稱為x的超越性度量（measure of transcendence）。假如\omega(x,n)有界，則\omega (x)有限，x稱為S數。如果\omega(x,n)有限而無界，則x稱為T數。x為代數數當且僅當\omega (x)=0。
顯然劉維爾數是U數的子集。在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。
T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當x為任意非零代數數時e^x均為S數：這點揭示了e是S數且給出了\pi的超越性證明。對於\pi我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。
兩個數x, y稱為代數相關，當存在 2 個變量的整係數非零多項式P滿足P(x,y)=0。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與e或\pi的和。
通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。
Koksma 的等價分類
在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。
考慮用次數\leq n且高\leq H的代數數逼近複數x。令\alpha為該有限集中滿足\vert x-\alpha \vert取最小正值得代數數。定義\omega^(x,H,n)和\omega^(x,n)如下：
:|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.
:\omega^(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^(x,n,H).
若對於最小的正整數n，\omega^(x,n)為無窮大，則稱x為n次的U數**。
若\omega^(x,n)有界且不收斂到 0 ，則則稱x為S數**，
一個數x被稱為 *A數* ，當\omega^(x,n)收斂到 0 。
若所有的\omega^(x,n)均為有限但無界，則稱 x 為T數**，
Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。
此構造可以改進以建立n次U數的不可數個系列。令Z為上述\lambda的級數中 10 的冪次的集合。Z所有子集的集合是不可數的。在表示\lambda的級數中刪去任意一個Z的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的n次方根都是次數為n的U數。
類型
數列\{\omega(x,n)\}的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。
参考文献
參見
- 多項式
- 無理數
- 代數數
- 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
评论 (0)