格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。

表述
如果\alpha和\beta是代数数，其中\alpha \notin \{0, 1\}，且\beta不是有理数，那么任何\alpha^{\beta} = e^{\{\beta \log \alpha\}}的值一定是超越数。

\alpha 和 \beta 不限于实数，也可以是虚部不为零的复数。因此，\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}可以是多值的，其中“log”表示复数对数，且该定理对每个值都是成立的。
该定理的一个等价的表述是：如果 \alpha 和 \gamma 是非零的代数数，那么 (\log \gamma)/(\log \alpha) 要么是有理数，要么是超越数。

:: 使用反證法。
:: 令 \beta = (\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_{\alpha}\gamma
:: 假設 \beta 不為超越數，也不為有理數，即為代數數
:: 根據此定理，\alpha^{\beta} = \gamma 為超越數
:: 但 \alpha^{\beta} = \alpha^{\log_{\alpha}\gamma} = \gamma 卻是代數數，矛盾。
:: 故 (\log \gamma)/(\log \alpha) 要么是有理数，要么是超越数。

如果没有 \alpha，\beta 是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：

** 令 \alpha = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} 為超越數（由本定理可得知），\beta = \sqrt{2} 為代數數，則
:::{\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2，是代數數。
** 令 \alpha=3 為代數數，\beta=\log 2/\log 3 為超越數，則
:::\alpha^{\beta}=2，是代数数。

定理的应用
利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

2^{\sqrt{2}}（格尔丰德-施奈德常数）和它的平方根 \sqrt{2}^{\sqrt{2}}。
格尔丰德常数

e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.1406926328 \ldots

i^i = \left( e^{\frac{i \pi}{2}} \right)^i = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0.20787957635 \ldots

参见

林德曼-魏尔斯特拉斯定理
Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956

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