三尖瓣线
三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线 三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。 方程式 三尖瓣线可以用以下的參數方程表示： :x=(b-a)\cos(t)+a\cos\left(\frac{b-a}at\right) \, :y=(b-a)\si…
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共 17 篇文章
谷山-志村定理
谷山-志村定理（）建立椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。 定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯、理查·泰勒、法國數學家、美國數學家和所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 :ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也…
牛顿三叉曲线
牛顿三叉曲线（Trident of Newton）是有以下方程式的曲線： :xy+ax^3+bx^2+cx=d\, 牛顿三叉曲线是三次平面曲線，在实射影平面的x = 0, y = 1, z = 0有二個普通雙點，若將方程式用x = x/z及y = 1/z 替換，可以得到 :ax^3+bx^2z+cxz^2+xz = dz^3,\, 在原點有一個普通雙點，因此牛顿三叉曲线是虧格為0的代數曲線。 參考資料 外部連結
8字型线
8字型线（figure-eight curve）也稱為赫羅諾雙紐線（lemniscate of Gerono）或惠更斯雙紐線（lemniscate of Huygens），是四階、為0的代數曲線，其外形為類似8或是無限大符號的雙紐線。方程式為 :x^4-x^2+y^2 = 0. 曾研究過此一曲線。 因為曲線的亏格為零，因此可以用有理函數來參數化，其中一種參數化的結果為 :x = \frac{t^2-1}{t^2+1},\ y = \fr…
奇点 (几何)
属于奇點的一种]] 曲線上的奇點（）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。 平面上的代數曲線 平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。 若f展開為以下的形式 :f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\, 且若原點(0, 0)在曲線上，則a0=0。若b1≠0，則隐函数定理可確定有一光滑函數h，使得在原點附近y=h(x)會成…
Ε-猜想
在数学中，Ribet定理（，以前稱為ε猜想）是數論中關於與模形式相關的性質的陳述。它由讓-皮埃爾·塞爾提出並由肯尼斯·阿蘭·黎貝證明。ε猜想的證明是證明費馬大定理的重要一步。如Serre和Ribet所示，谷山－志村定理（當時未解決的狀態）和ε猜想意味著費馬大定理是正確的。 在數學術語中，Ribet定理表明，如果與橢圓曲線相關的伽羅瓦表示具有某些特性，那麼該曲線不能是模形式的（在不存在產生相同伽羅瓦表示的模形式的意義上）。 另見 Abc猜…
笛卡尔卵形线
在几何学中，以勒内·笛卡尔的名字命名的笛卡尔卵形线（），是一種平面曲线，指一群對兩定點具有相同線性組合的點所形成的集合。 定義 設\text{P}、\text{Q}為平面上兩定點，並令 和 表一動點\text{S}分別與\text{P}、\text{Q}的欧几里得距离長，並令\text{m}及\text{a}為兩任意實數，則笛卡爾卵形線即為所有滿足方程式之點所形成之軌跡。其中，由四組方程式 與構成的兩組卵形線具有密切相關，兩者可構成一四…
代數曲線
在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面\mathbb{P}^2上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。 仿射曲線 定義在域F上的仿射代數曲線可以看作是F^n中由若干個n-元多項式g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]定義的公共零點，使得其维数為一。 利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線f(x,y)=0，其中f \in F[x,y]，因此在探討曲線的雙有理幾何時…
叉點
叉點（）在數學上是指曲線和自身相交叉的點，曲線的二個分支在此位置有不同的切線。叉點也稱為平常二重點。 在平面曲線f(x, y) = 0中（f(x, y)為變數x和y的光滑函數，x和y為實數），叉點是函數f的奇點，在此處函數的偏導數\partial f\over \partial x和\partial f\over \partial y會為零，且二階導數的海森矩阵會有負值的特徵值。 \frac{\partial^2 f}{\partial…
腎形線
腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線。 腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 a的圓在半徑為2a的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外摆线，有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是若爾當曲線。 方程式 ]] 考慮一小圓在…
德·斯路斯蚌线
德·斯路斯蚌线是一个平面曲线族，由勒内·弗朗索瓦·沃尔特(男爵德·斯路斯)于1662年研究。 该曲线被定义在极坐标方程下， :r=\sec\theta+a\cos\theta \,. 在笛卡尔坐标系，该曲线满足的隐式方程 :(x-1)(x^2+y^2)=ax^2 \, 除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。 它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。 这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐…
費馬曲線
数学上的費馬曲線是指由費馬方程:X^n + Y^n = Z^n.\ 所定義，在齐次坐标复射影平面上的代數曲線。 在仿射平面上的方程為： :x^n + y^n = 1.\ 費馬方程的整數解會對應仿射方程上的非零有理数解，但根據费马大定理，在n > 2時，費馬方程沒有非平凡的整數解，因此費馬曲線沒有非平凡的有理中數點。 費馬曲線為非奇異的代數曲線，亏格為： :(n - 1)(n - 2)/2.\ 在n = 2時，其虧格為0（圆锥曲线），只有…
別雷定理
數學上，別雷定理（*'）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的代數曲線C，都代表這樣的一個，這黎曼曲面能作為黎曼球面的，且只有三個分歧點。 這定理是1979年的結果。這個結果當時令人大感意外，激發格羅滕迪克發展出理論，使用組合數學資料描述代數數上的非奇異代數曲線。 格羅滕迪克曾在《》評價這定理說：「不到一年後，在赫爾斯基的國際數學家大會中，蘇聯數學家別雷宣佈了正正這個結果，證明令人困惑地簡單，德利涅一封信的兩小頁也容得下。毫無…
三次平面曲线
三次平面曲线（）是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C :F(x, y, z) = 0 針對射影平面會使用齐次坐标，或是在仿射空间中的非齊次版本，會令上述方程中的。F是以下三次單項式的非零線性組合 :x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz. 共有十個單項，因此三次曲线會在給定的任意域K中形成九維的射影空間。。若指定九個任意的點，通過其上的三次曲线可能會退化，也可能不唯一，不過若這九個…
四次平面曲线
四次平面曲线（）是四的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程： :Ax^4+By^4+Cx^3y+Dx^2y^2+Exy^3+Fx^3+Gy^3+Hx^2y+Ixy^2+Jx^2+Ky^2+Lxy+Mx+Ny+P=0, A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是\mathbb{RP}…
双叶线
双叶线（Bifolium）是方程式如下的四次平面曲线 :(x^2 + y^2)^2 = ax^2y.\, 極座標下的方程式為 :\rho = a \sin\theta \, \cos^2\theta. 双叶线的形狀為兩片相鄰的葉子。 在a=1時，其總面積約為0.1。 製圖方式 考慮經過O點的一個圓C，以及圖在O點上的切線L。針對圓周上的每一點Q，找出使線段PQ平行切線L，且PQ = OQ的點P，將所找到的P相連即為双叶线。 參考資料 相…
模曲線
在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。 「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。 定義 考慮上半平面 \mathcal{H} := \{z \in \mathbb{C} : \hbox{Im}(z) > 0 \}。取 \mathcal{H} 對模群 \Gamma := \hbox…