三尖瓣线

三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。

方程式
三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：
:x=(b-a)\cos(t)+a\cos\left(\frac{b-a}at\right) \,
:y=(b-a)\sin(t)-a\sin\left(\frac{b-a}at\right) \, ,
其中a是小圓的半徑，b是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處b=3a）。

在複變座標下可得
:z=2ae^{it}+ae^{-2it}.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程
:(x^2+y^2)^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4 = 8a(x^3-3xy^2),\,
因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為
:r^4+18a^2r^2-27a^4=8ar^3\cos 3\theta\,.
曲線有三個奇點，是對應t=0,\, \pm\tfrac{2\pi}{3}的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其為零。

三尖瓣线的為
:x^3-x^2-(3x+1)y^2=0,\,
在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉y \mapsto iy，曲線會變為下式，就可以看到其二重點
:x^3-x^2+(3x+1)y^2=0\,
在實平面的原點上有二重點。
面積及周長
三尖瓣线的面積為2\pi a^2，其中a為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍。

其周長為16a。

• 三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧。
• 三尖瓣线屬於中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

相關條目
*星形线：有三個尖點的圆内螺线
*
*勒洛三角形
*超橢圓

参考资料
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• [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Tricuspoid.html "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index]
• [http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/deltoid/deltoid.shtml "Deltoid" at MathCurve]

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