四頂點定理
四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。 四…
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双扭线
，以及其二個焦點]] 双扭线（lemniscate）是代數幾何中的名詞，是指8字型或是型的曲線，或是指羊毛（緞帶的原料）。 Booth双扭线可以定義為四次多項式(x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2的零集，其中參數d為負值。若參數d為正值，會得到。 伯努利双扭线 乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼在1680年研究一系列的曲線，現今稱為卡西尼卵形线，是所有到兩個定點（圖形的焦點）距離乘積為常數的點形成的軌跡。在非常特殊的條件下（兩點…
三尖瓣线
三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线 三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合。 方程式 三尖瓣线可以用以下的參數方程表示： :x=(b-a)\cos(t)+a\cos\left(\frac{b-a}at\right) \, :y=(b-a)\si…
環索線
环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點，這兩點到K的距離和A到K的距離相同（因此A、P1、P2在圓心為K為圓上）。P1、P2的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。 其中AP1和AP2會呈直角。 若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid…
蛇状线
蛇狀線是一個方程式如下的曲線： 為x^2y+a^2y-abx=0, 其中ab > 0。 蛇状线可以用函數的形式表示 :y=\frac{abx}{x^2+a^2}。 在0 時的參數式為 :x=a\cot(t) :y=b\sin(t)\cos(t) 在 -\pi / 2 的參數式為 :x=a\tan(t) :y=b\sin(t)\cos(t) 其最大值是在x = a，最小值是在x = -a，可以由下式求得 :y' = \frac{ab\le…
航线
航线是船舶或航空器在两个地点之间的固定移动路线，其中水上运输在适航水体上所常用的航行路线叫做航道，而空中运输常用的飞行路线則称为飞行航线。航线的使用包括货运、客运、观光和科学考察，其中以前两者为主。在经过第三国领空或者海域的时候，因为涉及到主权的问题，通常不允許运输工具有任何偏离航线的移动。 航线的形成往往是因为两地之间的贸易所促成的。比如大航海时代和殖民时代开启的原因之一就是因为新崛起的奥斯曼帝国控制了通往远东的丝绸之路，欧洲人为了绕…
蜗牛线
蜗牛线（）是一種蜗牛形的曲線，類似環索線，其极坐标系方程如下： :r=\frac{a \sin \theta}{\theta} 其笛卡儿坐标系方程如下 :(x^2+y^2)\arctan\frac{y}{x}=ay 其參數方程如下 :x=\frac{a\sin t\cos t}{t} :y=\frac{a\sin^2 t}{t} 蜗牛线是的。 腳註 參考資料 [https://www.encyclopediaofmath.org/ind…
杖头线
杖头线（Kampyle of Eudoxus）是笛卡儿坐标系方程如下的曲線 :x^4 = a^2(x^2+y^2), 但不包括x = y = 0的解。 另一種表示法 在極座標下，杖头线的方程如下 :r = a\sec^2\theta. 其參數式為 :x=a\sec(t), \quad y=a\tan(t)\sec(t). 歷史 希臘天文學家及數學家歐多克索斯（c. 408 BC – c.347 BC）有研究此一四次曲線，和求解經典的倍立…
奇点 (几何)
属于奇點的一种]] 曲線上的奇點（）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。 平面上的代數曲線 平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。 若f展開為以下的形式 :f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\, 且若原點(0, 0)在曲線上，則a0=0。若b1≠0，則隐函数定理可確定有一光滑函數h，使得在原點附近y=h(x)會成…
代數曲線
在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面\mathbb{P}^2上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。 仿射曲線 定義在域F上的仿射代數曲線可以看作是F^n中由若干個n-元多項式g_i \in F[x_1, \ldots, x_n]定義的公共零點，使得其维数為一。 利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線f(x,y)=0，其中f \in F[x,y]，因此在探討曲線的雙有理幾何時…
逻辑斯谛函数
邏輯斯諦函數（）是一种常见的S型函数，其函數圖像稱為逻辑斯谛曲线（）。简单的逻辑斯谛函数可用下式表示： : f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}} 其中： : 为S形曲线中点的值； : 为曲线的最大值 : 为逻辑斯谛增长率或曲线的陡度。 当趋向于正无穷时，的值逼近L，而趋向于负无穷时，的值逼近0。 逻辑斯谛函数应用领域广泛，包括生物学（特别是生态学）、數理生物學、化學、人口学、经济学、地球科学、数学心理学、…
叉點
叉點（）在數學上是指曲線和自身相交叉的點，曲線的二個分支在此位置有不同的切線。叉點也稱為平常二重點。 在平面曲線f(x, y) = 0中（f(x, y)為變數x和y的光滑函數，x和y為實數），叉點是函數f的奇點，在此處函數的偏導數\partial f\over \partial x和\partial f\over \partial y會為零，且二階導數的海森矩阵會有負值的特徵值。 \frac{\partial^2 f}{\partial…
卍曲線
卍曲線（）是四次平面曲线和平面曲线構成的笛卡尔坐标系方程式，因形似佛教“卍”字而得名。 : y^4-x^4 = xy,\, 或者使用极坐标系方程式： :r^2 = - \tan(2\theta)/2. \, 曲線看起來與右撇子相似，亦可使用於单位圆，使笛卡兒坐標系變成 : x^4 - y^4 = xy. \,。 參考資料
螺旋
螺旋（，复数：）是一种类似圆柱形螺旋弹簧或机器螺丝螺纹的形状 .它是一种光滑的空间曲线，其切线与固定轴成恒定角度。螺旋在生物学中非常重要，因为DNA分子由两个相互缠绕的螺旋组成，并且许多蛋白质具有螺旋状的亚结构，称为α 螺旋。螺旋这个词来自希腊语 ，“扭曲的，弯曲的”。 “填充”的螺旋线，例如“螺旋形”（螺旋状）坡道，是一种称为螺旋面的表面。 属性和类型 螺旋的螺距是螺旋旋转一圈后的高度，沿螺旋轴平行测量。 双螺旋由两个（通常全等的）螺…
勒洛三角形
为基础。边上的每个点到对应顶点的距离都是相等的。]] 勒洛三角形（），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师命名。 绘制 使用一个圆规，画一个大小合适的圆弧。 以同样的半径，以第一个圆弧上的一点画第二个圆…
德·斯路斯蚌线
德·斯路斯蚌线是一个平面曲线族，由勒内·弗朗索瓦·沃尔特(男爵德·斯路斯)于1662年研究。 该曲线被定义在极坐标方程下， :r=\sec\theta+a\cos\theta \,. 在笛卡尔坐标系，该曲线满足的隐式方程 :(x-1)(x^2+y^2)=ax^2 \, 除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。 它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。 这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐…
卵形线
卵形线，是类似于椭圆，但是一头大，一头小，有一条对称轴且光滑封闭的平面曲线。卵形线的对称轴与大、小头的两个交点称为卵形线的大端点和小端点，记为 Q、P。卵形线上到其对称轴距离最大的两点称为卵形线的对称端点，记为 S、T。线段 QP、ST 分别称为卵形线的直径和对称直径．卵形线的直径与对称直径的交点称为卵形线的卵心，记为 O，线段 OP、OQ、OS（或OT）分别称为卵形线的长半径、短半径、对称半径，其长度分别记为 a、b、c。长半径、短半…
定宽曲线
定宽曲线（），或称恒宽曲线，定义：平面上一凸形封闭曲线，不论如何转动，其宽度永远不变，则称之定宽曲线或恒宽曲线。这里所称的“宽度”是指平行线“夹住”某封闭曲线时，平行线间的距离，所謂"夾住"是指每個平行線與凸形封閉曲線相交至少一點且與凸形封閉曲線圍起來的內部區域（）不相交。 或者可以说，将一个闭合曲线放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个闭合曲线如何运动，只要它仍与原平行线中的一条直线相切，就必与另一条直线线相切…
等時降線
等時降線（或）是一種曲線，將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑（不計阻力）至最低點所需的時間皆相等。此曲線的解是擺線，而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比，與重力場強度的平方根成反比。 等時降落問題 等時降落問題（）即為尋找等時降線的問題。等時降落問題最早由惠更斯解出。在他1673年出版的著作裡，利用了幾何的方法證明了此線的解為一擺線，而此問題後來也被利用來解決最速降線問題。在1690年，伯努利用微積分推導出了最速降線問題…
漸伸線
漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。 在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。 若曲線B有參數方程r:\mathbb R\to\mathbb R^n，其中|r^\prime(s)|=1，曲線A的方程為t\mapsto …