半立方抛物线
半立方抛物线（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線 :x = t^2 \, :y = at^3. \, 其為 :y^2-a^2x^3=0, 可以求得得到以下的式子，其方程式為 :x = {3 \over 4}(2y)^{2 \over 3} + {1 \over 2}. 若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方抛物线： :x = 3(t^2 - 3) = 3t^2…
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魔鬼曲線
魔鬼曲線為方程式如下的平面曲線 :y^2 (y^2 - a^2) = x^2 (x^2 - b^2). 此曲線的極座標方程為 :r = \sqrt{\frac{b^2 \sin^2\theta-a^2 \cos^2\theta}{\sin^2\theta-\cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{b^2 -a^2 \cot^2\theta}{1-\cot^2\theta}}. 此曲線是由加布里尔·克拉默在1750年發現，…
Talbot曲线
Talbot曲线也稱為切恩豪斯立方曲線，為一平面曲線，極坐標方程式如下 :r = a\sec^3(\theta/3). Talbot曲线是 n = −1/3的。 歷史 埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、紀堯姆·德·洛必達及歐仁·查爾斯·加泰羅尼亞都曾研究此曲線。在R C Archibald於1900年發表的論文中將此稱為切恩豪斯立方曲線，不過也稱為洛必達立方曲線（de L'Hôpital's cubic）或加泰羅尼亞三等分角线（tris…
三等分角线
三等分角线（）是可以用來三等分任意角的曲線。若只用標準的尺規作圖，不配合曲線或是有刻度的直尺，三等分角是不可能的。有許多的曲線可以作為三等分角的輔助，而進行三等分角的方式也各有不同。以下是一些三等分角线： （有些文獻直接稱此曲線為三等分角线） 等边三叶（Equilateral trefoil） 契尔恩豪森三次曲线 丢勒的大青叶（Durer's folium） 三次抛物线（Cubic parabola） 偏心率為2的雙曲線 三葉的玫瑰线 …
Kappa曲线
]] Kappa曲线（kappa curve）也稱為Gutschoven曲線（Gutschoven's curve），是外形類似希臘字母ϰ的二維代數曲線，Gérard van Gutschoven在1662年就開始研究此一曲線。Kappa曲线是伊萨克·巴罗第一批用rudimentary calculus來判斷曲線切線的曲線之一。艾萨克·牛顿及約翰·白努利後來也有研究過此曲線。 Kappa曲线在笛卡兒座標系下的方程為 :x^2(x^2 +…
追踪曲线
追踪曲线（Pursuit curve）是由追踪特定曲線軌跡一個或多個點所形成的曲線。追踪曲线中有類似被追踪者及追踪者的角色，追踪者形成的曲線即為追踪曲线。 若被追踪曲线及追踪曲线都可以用時間來參數化表示，被追踪曲线的軌跡會恆在追踪曲线的切線上。假定追踪曲线為，被追踪曲线為，針對每個及，存在使得 :L(t)=F(t)+xF^\prime(t)\, 。 歷史 1732年探討追踪曲线的論文]] 最早研究追踪曲线的是皮埃爾·布蓋，在1732年有…
曲率半径
在微分几何中，曲率半径是曲率的倒数。 对于曲线上一点，曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点，曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。 定义 对于空间曲线，曲率半径是曲率矢量的长度。 对于平面曲线，则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比 R(t)= \frac{(b^2 \cos^2t + a^2\sin^2t)^{3/2}}{ab}\,, 其中\theta = \tan^{-1}\Big(\f…
浴缸曲線
浴缸曲線常用在可靠度工程，可以描述一種由以下三部份組合的風險函數： 第一部份為隨時間遞減的失效率，稱為早期失效。 第二部份為固定的失效率，稱為隨機失效。 第三部份為超過其設計壽命後，隨時間遞增的失效率，稱為老化失效。 浴缸曲線得名自其形狀類似浴缸的剖面，二側陡峭，中間平坦。 以較不技術的方式來說，失效率符合浴缸曲線的產品，初始失效率高，但在損壞產品找到並丟棄後，而且早期失效來源（例如安裝或是運送問題）克服，之後失效率會快速下降。在產品壽…
利萨茹曲线
数学上，利萨茹（）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。 纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。 数学定义 利萨茹曲线由以下参数方程定义： : \begin{cases} x( \theta)=a\sin(\theta)\\ y(\theta)=b\sin(n \theta + \phi) \end{cases} 其中 0\le \…
迪潘指标线
在微分几何中，迪潘指标线（英语：Dupin indicatrix）是一个描述曲面局部形状的概念。通俗来讲，画一个平行于曲面上一点P的切平面并离切平面有微小距离的平面。考虑曲面与这个平面的交线，不难发现交线的形状与曲面在P点的高斯曲率有关。迪潘指标是平面接近切平面时极限过程的结果。该指标线的概念是19世纪法国数学家夏尔·迪潘发明的。 定义 对于方程为\boldsymbol{r}(u,v)的曲面S，在曲面上一点P可作无数个法截线，每个法截线…
渐屈线
漸屈線是曲線微分幾何中的概念，它是曲線上密切圓圓心的軌跡。等價的描述是一條曲線的漸屈線即是其法線的包絡。 漸屈線與漸伸線是一對相對的概念，若曲線A是曲線B的漸屈線，曲線B即為曲線A的漸伸線。每條曲線的漸屈線唯一確定，但卻可以有無窮多條漸伸線。
蝶形线
蝶形线指下列两类平面曲线。 六次型 由隐式方程 : y^6=x^2-x^6. 给出。 指数型 这种类型由 Temple H. Fay 发现。可用下列参数方程表示： \begin{align}x &= \sin t (e^{\cos t} - 2\cos 4t - \sin^5 \frac{t }{ 12} ) \\ y &= \cos t (e^{\cos t} - 2\cos 4t - \sin^5 \frac{t }{ 12} ) …
頂點 (曲線)
、藍色曲線為橢圓的渐屈线。橢圓的頂點以黑點標出]] 在描述曲線時，頂點是指該曲線上曲率相對於附近其他點的極值，更正式地，在幾何學中會將曲線中曲率的一階導數為零的點稱為曲線上的頂點，而這個點通常會是曲線中的區域極值，如局部最大值或局部最小值然而也有可能存在一些特殊情況，例如二階導數為零或者曲率為常數等狀況。 圓錐曲線的頂點 除了圓形，其他的圓錐曲線皆可以定義出頂點。 雙曲線的頂點 雙曲線是指兩個固定的點（稱為焦點）的距離差是常數的點的軌跡…
次切距
在微積分中，次切距（subtangent）是切線與切點垂線在橫坐標軸上的距離。 的六個函數（幾何線段）與次切距（subtangent）。]] 的極小三角形方法。]] 的的極小三角形方法。]] 歷史 反切線問題 分別於1636年與1637年，法國數學家費馬與笛卡兒提出了座標幾何，這鼓舞了當時的數學家投入於研究代數曲線。 然而，有些曲線無法以代數式表示，它們被稱為超越曲線。1638 年，另一位法國數學家佛洛里博得·德博納（Florimond…
云形尺
，左上角的通常用来画椭圆，最下方的通常用来画抛物线。]] 云形尺，又称云尺 }}
双叶线
双叶线（Bifolium）是方程式如下的四次平面曲线 :(x^2 + y^2)^2 = ax^2y.\, 極座標下的方程式為 :\rho = a \sin\theta \, \cos^2\theta. 双叶线的形狀為兩片相鄰的葉子。 在a=1時，其總面積約為0.1。 製圖方式 考慮經過O點的一個圓C，以及圖在O點上的切線L。針對圓周上的每一點Q，找出使線段PQ平行切線L，且PQ = OQ的點P，將所找到的P相連即為双叶线。 參考資料 相…
弧长
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。最早研究的曲线弧长是圆弧的长度。为了计算圆周的长度，数学家发明了用直线段近似的方法，并应用到其他的曲线上。微积分出现后，数学家开始用积分的方式计算曲线的弧长，得出了许多特殊曲线的弧长的精确表达式。 一般方法 计算平面上一段曲线的弧长，最早也是最直接的方法是用一些直线段来作出和曲线相似的形状，以直线段的长度代替曲线的弧长。具体的方法是…
蒙日圆
法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x^2+y^2 = a^2+b^2。这一结论被称为蒙日圆。 證明 設F_1, F_2分別為橢圓的左右焦點，焦距為c。設點M, N分別為點F_1關於PA，F_2關於PB的對稱點。由橢圓的光學性質知F_2，A，M 及F_1，B，N分別三點共線，由橢圓定義有MF_2 = NF_1 = 2a。設F_1…
雙曲線扇形
雙曲線扇形是指在一個笛卡儿坐标平面 {(x,y)} 之上，雙曲線xy = 1與從原點(0, 0)出發的兩條射線相交處的兩點 (a, 1/a)和 (b, 1/b)之間的面積。 一個標準位置的雙曲線扇形有 a = 1 及 b > 1 。 處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 \ln b 。 證明： 黃色部分的面積相等於三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}的面積加上雙曲線底下從1 到 b 的面積，再減去白色三角形{(0, 0),…