利萨茹曲线

数学上，利萨茹（）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义
利萨茹曲线由以下参数方程定义：
: \begin{cases}
x( \theta)=a\sin(\theta)\\
y(\theta)=b\sin(n \theta + \phi)
\end{cases}
其中 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} ，n\ge 1\,。

n称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则n=\frac{q}{p}\,，参数方程可以写作：
: \begin{cases}
x( \theta)=a\sin(p\theta)\\
y(\theta)=b\sin(q \theta + \phi) \\
0\le \theta \le 2\pi
\end{cases}，

其中 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}。

性质
*若n为无理数，曲线在长方形[-a,a]\times[-b,b]中稠密。
*若n为有理数，
**曲线是2q次代数曲线若\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2p} \right]对奇数p，或\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right)对偶数p。
**曲线是q次代数曲线的一部份若\phi=0\,对奇数p，或\phi=\frac{\pi}{2p}对偶数p。

*若n为偶数而 \phi = \frac{\pi}{2} ，或若n为奇数而 \phi =0\,，则曲线是第n个切比雪夫多项式T_n的曲线的一部份。

特别情况
*若a=b，n=1，则曲线是椭圆。
**若\phi=\frac{\pi}{2}，则这椭圆其实是圆。
**若\phi=0\,，则这椭圆其实是线段。
*若a=b，n=q=2（所以p=1），则曲线是besace。
**若\phi=\frac{\pi}{2}，则这besace是拋物线一部份。
**若\phi=0\,，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中\phi = 0，a = b, p是奇数，q是偶数，|p-q|= 1。

频率比1:n和n:1的情况
频率比n1:n2的情况
演示
鼠标悬浮在两个数字上时，通过滚轮可以调节数字大小。
{
"width": 450,
"height": 400,
"signals": [
{
"name": "point",
"init": 0,
"streams": [{"type": "mousemove,touchmove","expr": "eventX()"}]
},
{
"name": "r",
"init": [1,1],
"streams": [
{
"type": "@w:wheel",
"expr": "[clamp(r[0]+(1-datum.data)clamp(event.deltaY,-1,1),1,20),clamp(r[1]+datum.dataclamp(event.deltaY,-1,1),1,20)]"
}
]
}
],
"data": [
{
"name": "array",
"values": [0,1,2,3,4,5],
"transform": [
{"type": "cross"},
{
"type": "formula",
"field": "c",
"expr": "datum.a.data*6+datum.b.data"
},
{"type": "cross"},
{
"type": "formula",
"field": "c",
"expr": "datum.a.c*36+datum.b.c"
},
{
"type": "formula",
"field": "x",
"expr": "200+cos(r[0]datum.cPI2/1295)180"
},
{
"type": "formula",
"field": "y",
"expr": "200+sin(r[1]datum.cPI2/1295+pointPI2/400)180"
}
]
},
{"name": "w","values": [0,1]}
],
"marks": [
{
"type": "line",
"from": {"data": "array"},
"properties": {
"update": {
"x": {"field": "x"},
"y": {"field": "y"},
"stroke": {"value": "black"},
"strokeWidth": {"value": 2}
}
}
},
{
"type": "rect",
"name": "w",
"from": {"data": "w"},
"properties": {
"enter": {
"x": {"value": 400},
"y": {"field": "data","mult": 120,"offset": 20},
"width": {"value": 40},
"height": {"value": 40},
"fill": {"value": "pink"},
"cursor": {"value": "pointer"}
}
}
},
{
"type": "text",
"interactive": false,
"from": {
"data": "w",
"transform": [
{
"type": "formula",
"field": "c",
"expr": "r[datum.data]"
}
]
},
"properties": {
"update": {
"x": {"value": 420},
"y": {"field": "data","mult": 120,"offset": 40},
"width": {"value": 40},
"height": {"value": 40},
"fill": {"value": "black"},
"align": {"value": "center"},
"baseline": {"value": "middle"},
"font": {"value": "TakaoExGothic"},
"fontSize": {"value": 20},
"text": {"template": ""}
}
}
}
]
}

在電子學上的應用
藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。

外部連結
*[http://www.phy.hk/wiki/chinesehtm/Lissajous.htm 利萨茹曲线的Java 3D示範]

评论 (0)