在微分几何中，迪潘指标线（英语：Dupin indicatrix）是一个描述曲面局部形状的概念。通俗来讲，画一个平行于曲面上一点P的切平面并离切平面有微小距离的平面。考虑曲面与这个平面的交线，不难发现交线的形状与曲面在P点的高斯曲率有关。迪潘指标是平面接近切平面时极限过程的结果。该指标线的概念是19世纪法国数学家夏尔·迪潘发明的。

定义
对于方程为\boldsymbol{r}(u,v)的曲面S，在曲面上一点P可作无数个法截线，每个法截线在P点的曲率为法曲率。

设\kappa_{n}是对应于截面方向d的法曲率，沿截面方向d作长度为\frac{1}{\sqrt}的线段PN，则对所有方向d，点N的集合为曲面在P点的迪潘指标线。

迪潘指标线的方程
选取P为原点，\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v} 为基向量，则它们可构成曲面S在P点的切平面上的笛卡尔坐标系。设N点坐标为(x,y)，法截线方向d的切向量为，可得到：

x\boldsymbol {r}_{u}+y \boldsymbol {r}_{v}=\sqrt{\frac{1}}\frac{\operatorname{d}\!\boldsymbol {r}}
.

代入\kappa_{n}=\frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}}
，经过化简有：Lx^2+2Mxy+Ny^2=\pm1
.

其中L, M, N 是曲面第二基本形式，以上就是迪潘指标线的方程。

应用
从迪潘指标线的方程可知其表示以P点为中心的二次曲线，因此可以由二次曲线的类别对不同的P点进行分类：

如果 LN-M^2>0, 则此时迪潘指标线为椭圆，P点成为曲面的椭圆点。

如果 LN-M^2, 则此时迪潘指标线为双曲线，P点成为曲面的双曲点。

如果 LN-M^2=0, 则此时迪潘指标线为一队平行直线，P点成为曲面的抛物点。

如果 L=M=N=0, 则此时迪潘指标线不存在，P点成为曲面的平点。

参见

• [https://www.youtube.com/watch?v=Qa5t8IAqceQ 环面的迪潘指标线]

参考资料
外部連結