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Talbot曲线

Wikipedia · 2025-01-01 维基百科 👁 1 阅读

Talbot曲线也稱為切恩豪斯立方曲線，為一平面曲線，極坐標方程式如下
:r = a\sec^3(\theta/3).

Talbot曲线是 n = −1/3的。
歷史
埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、紀堯姆·德·洛必達及歐仁·查爾斯·加泰羅尼亞都曾研究此曲線。在R C Archibald於1900年發表的論文中將此稱為切恩豪斯立方曲線，不過也稱為洛必達立方曲線（de L'Hôpital's cubic）或加泰羅尼亞三等分角线（trisectrix of Catalan）。

其他方程式
令t=\tan(\theta/3)，再應用棣莫弗公式可得
:x=a\cos \theta \sec^3 \frac{\theta}{3} = a(\cos^3 \frac{\theta}{3} - 3 \cos \frac{\theta}{3} \sin^2 \frac{\theta}{3}) \sec^3 \frac{\theta}{3}
::= a\left(1 - 3 \tan^2 \frac{\theta}{3}\right)= a(1 - 3t^2)
:y=a\sin \theta \sec^3 \frac{\theta}{3} = a \left(3 \cos^2 \frac{\theta}{3}\sin \frac{\theta}{3} - \sin^3 \frac{\theta}{3} \right) \sec^3 \frac{\theta}{3}
::= a \left(3 \tan \frac{\theta}{3} - \tan^3 \frac{\theta}{3} \right) = at(3-t^2)
可以得到此曲線的參數式。參數t可以消去，得到以下方程式
:27ay^2 = (a-x)(8a+x)^2.

若此參數式水平平移8a，方程式會變成
:x = 3a(3-t^2)
:y = at(3-t^2)
或
:x^3=9a \left(x^2-3y^2 \right).
因此可以得到另一個極坐標方程式
:r=9a \left(\sec \theta - 3\sec \theta \tan^2 \theta \right).

參考資料

  • J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

外部連結
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#曲線

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