蒙日圆

法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x^2+y^2 = a^2+b^2。这一结论被称为蒙日圆。

證明
設F_1, F_2分別為橢圓的左右焦點，焦距為c。設點M, N分別為點F_1關於PA，F_2關於PB的對稱點。由橢圓的光學性質知F_2，A，M
及F_1，B，N分別三點共線，由橢圓定義有MF_2 = NF_1 = 2a。設F_1M交直線PA于點Q，F_2N交直線PB於點S，分別延長MF_1，NF_2交於點R，則OQ = \frac{1}{2} MF_2 = \frac{1}{2} NF_1 = OS = a ，OR = \frac{1}{2} F_1F_2 = c。在矩形PQRS中，由平面幾何知識易知OP^2 + OR^2 = OQ^2 + OS^2，於是OP^2 = OQ^2 + OS^2 - OR^2 = a^2 + b^2。

在雙曲線中的結論
與雙曲線\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x^2+y^2 = a^2 - b^2。

在拋物線中的結論
與拋物線y^2 = 2px (p>0)相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是x = -\frac{p}{2}(可以看成是半徑無窮大的圓)。

註釋