圓極限III
圓極限III（）是M. C. 埃舍爾（M. C. Escher，又譯艾雪）在1959年完成的木刻版畫，該作品被描述為「魚串就像從無限遠射出來的火箭」然後「再次降落回他們的出發地」。 它是一系列埃舍爾所描繪的四個雙曲幾何木刻之一。荷蘭數學物理學家布魯諾·恩斯特稱它是“最好的四個”。 靈感 艾雪在1936年訪問了在西班牙格拉納達與阿罕布拉之後，就對平面鑲嵌有了極大的興趣並從他1937年的作品《變形I》開始，人類和動物鑲嵌圖就成為他作品的材料…
标签：#雙曲幾何
共 16 篇文章
偽多邊形
{{Infobox polygon | name = 偽多-{}-邊形 超無限-{}-邊形 | polygon = 偽多邊形 | image = Pseudogon_example.png | caption = 偽多邊形（Pseudogon） 雙曲正無限邊形 雙曲面上的偽多邊形。 | type = 正多邊形 二維雙曲鑲嵌 | edges = \frac{i\pi}{\lambda} \infty | schläfli = \left\…
分裂四元数
在抽象代数中，分裂四元数（split-quaternions）或反四元数（coquaternions）是一种四维的结合代数的元素，由在1849年引入，当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ，它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和。（例如， {1\over2}(1+j) 是幂等的零因子，而i-j 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 …
偽球面
偽球面（，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑R的偽球面，是\mathbb{R}^3中每點高斯曲率均為\textstyle -1/R^2的平面。偽球面這個名稱是類比半徑R的球面（曲率\textstyle 1/R^2的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。 定义 对于xOz平面上的曳物线，其参数方程为(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t))…
截半正七邊形鑲嵌
{{Infobox polyhedron | name = 截半正七邊形鑲嵌 | imagename = H2 tiling 237-2.png | caption = 龐加萊圓盤模型 | Type = 雙曲半正鑲嵌 | Coxeter_diagram = | Schläfli = r{7,3} | Wythoff = 2 | 7 3 | Symmetry_group = [7,3], (732) | Vertice_type = 3.…
截角七階三角形鑲嵌
{{Infobox polyhedron | name = 截角七階三角形鑲嵌 | imagename = H2 tiling 237-6.png | caption = 龐加萊圓盤模型 | Type = 雙曲半正鑲嵌 | Coxeter_diagram = | Vertice_type = 7.6.6 | Schläfli = t{3,7} 2t{7,3} | Wythoff = 2 7 | 3 | Symmetry_group = …
截角六階八邊形鑲嵌
{{Infobox polyhedron |name=截角六階八邊形鑲嵌 |imagename=H2_tiling_268-3.png |caption=龐加萊圓盤模型 |Type=雙曲半正鑲嵌 |Coxeter_diagram= |Vertice_type=6.16.16 |Schläfli=t{8,6}2t{6.8} |Wythoff=6 | 8 2 |Rotation_group=[8,6]+, (862) |Symmetry_g…
截角正七邊形鑲嵌
{{Infobox polyhedron | name = 截角正七邊形鑲嵌 | imagename = H2_tiling_237-3.png | caption = 龐加萊圓盤模型 | Type = 雙曲半正鑲嵌 | Coxeter_diagram = | Vertice_type = 3.14.14 | Schläfli = t{7,3} 2t{3,7} | Wythoff = 2 3 | 7 | Symmetry_group =…
雙曲坐標系
在數學裏，雙曲坐標系（）是一種二維坐標系統。它可以用來表達一個點在二維平面的第一象限的位置。從雙曲坐標 (u,\ v) 變換到直角坐標 (x,\ y) ： :u = - \frac{1}{2} \log \left( \frac{y}{x} \right) 、 :v = \sqrt{xy} 。 有時候，參數 u 稱為雙曲角，v 稱為幾何平均。 反映射為 :x = v e^u 、 :y = v e^{ - u} 。 這是一個連續函數，但不…
双曲树
双曲树（）是一种信息可视化和图形绘制方法，其灵感来自双曲几何。 将分层数据显示为一棵树，由于每层的节点数量会呈指数级增长，因此会出现视觉上的混乱。对于一棵简单的二叉树来说，第 n 层的最大节点数是 2n，而分支较多的树的节点数增长得更快。因此，把树画成一个节点-链接图需要指数级的空间来显示。 解决上述问题的其中一种方法是使用双曲树，首先由Lamping等人提出。 双曲树采用双曲空间，其本质上比欧氏空间的“空间更大”。例如，在欧几里得空间…
圓極限IV
圓極限IV又稱天堂和地獄（）是M. C. 埃舍爾（M. C. Escher，又譯艾雪）在1960年7月完成的木刻版畫。是艾雪一系列圓極限題作的四樣作品的其中之一，表達了對於龐加萊所描述的雙曲空間的感受。荷蘭數學物理學家布魯諾·恩斯特稱它是“最好的四個”，其中圓極限IV被認為是埃舍爾最具有大師風範的作品之一。 該作品中包含了天使與蝙蝠，天使代表了天堂，蝙蝠象徵著惡魔，代表地獄，並以八角化六階正方形鑲嵌的對稱性繪製重複無窮次於雙曲龐加萊圓盤…
双曲几何
双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了平行公設。然而，取代欧几里德几何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公…
雙曲三角形
在雙曲幾何學中，雙曲三角形是指位於雙曲面上的三角形，與平面三角形一樣由3條邊和3個頂點組成，但雙曲三角形的內角和小於180度。正如歐幾里德幾何，任意維度的雙曲空間中的三個點也總是共面，因此，雙曲平面三角形也描述了在任何更高維度的雙曲空間中可能存在的三角形。 根據三角不等式，三角形的其中兩邊的和必定大於第三邊，此不等式對於邊長有限的雙曲三角形仍成立。平面三角形若兩邊的和等於第三邊將會退化成內角為0度的退化三角形，然而雙曲三角形允許內角為0…
雙曲群
數學的幾何群論上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 定義 群上的一個度量稱為左不變度量，如果群中任何兩個元素，被另外任一個元素左乘後，其間的距離仍保持不變。如果一個群有一個左不變度量，使得這個群按度量空間而言，是一個格羅莫夫雙曲空間，就稱之為雙曲群。 雙曲群中以字雙曲群最為常見。提到雙曲群時，通常就是指字雙曲群。一個有限生成群稱為字雙曲群（word hyperbo…
上半平面
上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： :\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}. 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y n，…
雙曲線扇形
雙曲線扇形是指在一個笛卡儿坐标平面 {(x,y)} 之上，雙曲線xy = 1與從原點(0, 0)出發的兩條射線相交處的兩點 (a, 1/a)和 (b, 1/b)之間的面積。 一個標準位置的雙曲線扇形有 a = 1 及 b > 1 。 處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 \ln b 。 證明： 黃色部分的面積相等於三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}的面積加上雙曲線底下從1 到 b 的面積，再減去白色三角形{(0, 0),…