泰勒级数
在数学中，泰勒级数（）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式和泰勒展開的英國数学家布魯克·泰勒（）来命名的。，以苏格兰数学家科林·麦克劳林（）的名字命名。 拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒…
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复数 (数学)
。色相表示函数的辐角，饱和度与明度表示函数的幅值。]] 複數為實數的延伸，它使任一多項式方程都有根。複數當中有個「虛數單位」i，它是-1的一个平方根，即。任一複數都可表達為x + yi，其中x及y皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。 複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數體為複數，如複矩陣、複變函數等。 形式上，複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加，…
圓周率
{{Infobox number | name=圓周率 | number= | image= | range = 數表— | nav=no | symbol=\pi | value=\pi\approx | OEIS=A000796 | type=無理數 超越數 | define= \pi = \frac{C}{d}.，其中C為圓周長、d為直徑 \pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. | r…
不完全Γ函數
在数学中，上不完全Γ函数和下不完全Γ函数是 \Gamma函数的推广。它们的定义分别如下： : \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\! \qquad \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\, \quad \Re(s)>0, x\in\mathbb R_0^+ 通过解析延拓可以将定义域拓展到 C…
莫比乌斯变换
在几何学-{zh:里;zh-hans:里;zh-cn:里;zh-hant:裏;zh-hk:裏;zh-tw:裡;zh-mo:裏;}-, 莫比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为： :f(z) = \frac{a z + b}{c z + d} 其中 z, a, b, c, d 为满足 ad − bc ≠ 0的（扩展）复数。 莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋…
全纯函数
後的結果（下）]] 數學中，全纯函数（）是複分析研究的中心对象；它们是定义在複平面\mathbb{C}的开子集上的，在复平面\mathbb{C}中取值的，在每点上皆複可微的函数。複可微是一個非常強的條件，如果一個複函數在一個鄰域可微，可以由此推出該函數無窮可微，而且在一個足夠小的鄰域中為解析函數。因此在複分析中，解析函數（）一詞可以和「全純函數」交換使用，但前者有几个其他含义，如實數解析函數，而「全純函數」一詞僅用於複分析。 全纯函数有…
留数
在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数 f: \mathbb{C} \setminus \{a_k\} \rightarrow \mathbb{C}都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。 定义 亚纯函数f在孤立奇点a的留数，通常记为\operatorname{R…
可去奇点
在复分析中，一个全纯函数的可去奇点（），有时称为装饰性奇点（）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通过细致地分析，函数的定义域可以扩大到该奇点，使得延拓后的函数仍然全纯。 例如函数： : f(z) = \frac{\sin z}{z} 对 z\neq 0 有一个奇点 z=0。藉由定义 f(0)=1，可將此奇点消去，並得到全純的 sinc函數。 确切地，如果 U 是复平面 \mathbb{C} 的一个开集，a 是 U 中一点，f:U…
莫比烏斯-坎特八邊形
{{Infobox polygon | name = 莫比烏斯－坎特八邊形 | image = Möbius–Kantor_polygon_projection.gif | caption = 4個紅色三角形和4個綠色三角形分別代表其8條三元邊，8個頂點投影在四角反稜柱 | coxeter = | schläfli = 3{3}3 | type = 八邊形 | edges = 8個 | vertice = 8 | symmetry = …
准周期函数
在數學上准周期函数（Quasiperiodic function）是指一個函數有類似週期函數的性質，但不滿足嚴格的周期函数。更準確的說法，一函數為f為 准周期函数，且有准周期\omega若f(z + \omega) = g(z,f(z)) 其中g是一個比f簡單的函數，注意此處的「簡單」是一個模糊的概念。 一個簡單的例子（有些稱為算術準週期）為其函數滿足下式； : f(z + \omega) = f(z) + C 另一個的例子（有些稱為幾…
环形
数学中，环形（annulus）是一个环状的几何图形，或者更一般地，一个环状的对象。几何学中通常所说的环形就是圆环，一个大圆盘挖去一个小同心圆盘剩下的部分。 圆环的对称性非常强，是一个以圆心为对称中心的中心对称图形，也是有无数条对称轴的轴对称图形。圆环的几何中心就是圆心。一个以圆心为中心，半径为内外半径的几何平均值的反演保持圆环整体不变，将内外边缘互换，内圆内部与外圆外部互换。 一个外半径 R 内半径 r 圆环的面积由外圆和内圆面积之差给…
黎曼ζ函數
中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。]] 黎曼泽塔函數 ，写作 ，其定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} 它亦可以用积分定义： : \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1…
次调和函数
次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。 次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。 若將以上的「不大於」改為「不小於」，就可以定義過調和函數（Superharmonic）。過調和函數其實就是次调和函数的加法逆元，因此有…
布拉休斯定理
布拉休斯定理（）是计算二维不可压缩势流中作用于物体上的合力与合力矩的定理，名称源于德国流体力学家。 假设w(z)为势流的复势，\rho为流体密度，C为包围物体的封闭曲线，则物体受到的力为 : F_x - \mathrm{i}F_y = \frac{\mathrm{i}\rho}{2} \oint_{C} \left(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\right)^2 \, \mathrm{d}z, 力矩则为…
卷绕数
平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。 卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。 描述 假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。 计算…
偽解析函數
偽解析函數（Pseudoanalytic function）是美國數學家在1950年至1956年提出的一種广义解析函数 ，可以滿足較弱型式的柯西－黎曼方程。而美國數學家也和Lipman Bers建立了流體動力學上的偽解析函數理論 相關條目 *拟共形映射 参考文献
黎曼–希尔伯特问题
数学中，得名于伯恩哈德·黎曼和大卫·希尔伯特的黎曼–希尔伯特问题是在复平面研究微分方程时出现的一类问题。马克·克林、Israel Gohberg等人提出了这种问题的存在性定理（见Clancey & Gohberg (1981)）。 黎曼问题 设\Sigma为复平面中的简单闭合轮廓，将复平面分为\Sigma_{+}（内侧）与\Sigma_{-}（外侧）两部分，分别用轮廓相对于点的卷绕数决定。黎曼的博士论文（参）考虑的经典问题是寻找函数 :…
极点 (复分析)
的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。]] 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同 z-a=0 时 \frac{1}{(z-a)^n} 的奇点。也就是说，如果当 z\to a 时，函数 f(z)\to\infty ，那么 f(z) 在 z=a 处便具有极点。 定义 假设 U 是复平面 \mathbb{C} 的开子集， a 是 U 的一个元素， f:U-\{a\}\to\mathbb{C}…
单值性
的虚部。在\mathbb{C}\backslash \{0\}上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及\mathbb{C}\backslash \{0\}的螺旋曲面（黎曼曲面之一）覆盖。]] 数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单…
零点
对全纯函数f，称满足f(a)=0的复数a为 f的零点（）。 零点的阶 如果f可以被写成以下的形式： :f(z)=(z-a)g(z)\, 那么称a是f的简单零点，或称f的一阶零点。 其中a是一个复数，g是全纯函数，且g(a)不为零。 一般地，如果能找到一个最大的正整数n,使得下式成立： :f(z)=(z-a)^ng(z)\ 且\ g(a)\neq 0.\, 那么，称n为f在a处的零点的阶，a为函数f的 n阶零点。 零点的存在 代数基本定理…