的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。]]
亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同 z-a=0 时 \frac{1}{(z-a)^n} 的奇点。也就是说，如果当 z\to a 时，函数 f(z)\to\infty ，那么 f(z) 在 z=a 处便具有极点。
定义
假设 U 是复平面 \mathbb{C} 的开子集， a 是 U 的一个元素， f:U-\{a\}\to\mathbb{C} 是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数 g: U\to\mathbb{C} 和一个非负整数 n ，使得对于所有 U-\{a\} 内的 z ，都有
: f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}
那么 a 便称为 f 的极点。满足以上条件的最小整数 n 称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。
性质
1.函数f在极点a的极限值是\infty.也就是说
:\lim_{z\rightarrow a}f(z)=\infty
2.由性质1.可知,如果令函数
:h(z)=\frac{1}{f(z)}
那么代入定义可知：
:h(z)=(z-a)^m \frac{1}{g(z)}
其中\frac{1}{g(z)}在z=a点解析。那么有z=a是h(z)的m阶零点。
3.由于 g 是全纯函数， f 可以表示为：
:f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.
这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数 \sum_{k\ge0}a_k(z-a)^k 称为 f 的正则部分。因此，点 a 是 f 的 n 阶极点，当且仅当 f 在 a 处的罗朗级数中所有低于 -n 的次数都为零，而 -n 次项不为零。
评论
如果函数 f 的一阶导数在 a 处具有简单极点，则 a 是 f 的一个，但反过来不成立。
一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。
除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。
参见
- 零点
- 留数
外部链接
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