次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。
次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。
若將以上的「不大於」改為「不小於」，就可以定義過調和函數（Superharmonic）。過調和函數其實就是次调和函数的加法逆元，因此有關次调和函数的性質都可以轉換為過调和函数的對應性質。
正式定義
次調和函數的正式定義可以表示如下。令G是欧几里得空间 \R^n的子集，且令
\varphi \colon G \to \R \cup \{ - \infty \}
為上半連續函數。則\varphi 稱為次調和函數，若針對所有G內，球心為x，半徑為r的閉球\overline{B(x,r)}，以及閉球\overline{B(x,r)}內的實值连续函数h，在B(x,r)上為调和函数，且在B(x,r)邊界\partial B(x,r)上的每一個y，都可以使\varphi(y) \leq h(y)成立。也就可以得到\varphi(y) \leq h(y)在所有y \in B(x,r)都成立。
若函數u為次調和函數，則函數-u即為過調和函數。
性質
- 一函數為调和函数当且仅当其為次调和函数且是過调和函数。
- 若\phi在\R^n內的开集G中為C2（二次連續可微），則\phi為次調和函數当且仅当在G內 \Delta \phi \geq 0成立，其中\Delta為拉普拉斯算子。
- 次調和函數的最大值在其內部的條件是該函數為常數，此為，王過，次調和函數的最小值可以在其內部。
- 次調和函數形成凸锥，也就是說，次調和函數正係數的線性組合，仍為次調和函數。
- 二個次調和函數的也是次調和函數。
- 次調和函數的遞減級數的極限也是次調和函數。
*在一般的拓樸下，次調和函數不一定是連續的。不過可以引進使其連續。
相關條目
*：在下的推廣。
腳註
參考資料
*
评论 (0)