有界函数
在数学中，如果在某个集合X上定义的具有实数或复数值的某个函数f的值域是有界集合，则函数f被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数M>0，使得对于集合X中的所有x，都有|f(x)|\le M。有时，如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\le A，则函数f称为上有界的，A就是它的一个上界；如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\ge B，则函数称为下有界的，B就是它的一个下界。 一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合\m…
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正實函數
正實函數（Positive-real functions）的縮寫是PR函數或是PRF，是在電路分析中會出現的一種數學函數。正實函數是複數函數Z(s)，其變數s也是複數。有理函數若在複平面的右半邊都有正的實部，且可解析，在實軸上都為實數，就是正實函數。 其定義可以表示為下式： : \begin{align} & \Re[Z(s)]>0 \quad\text{if}\quad \Re(s) > 0 \\ & \Im[Z(s)]=0 \qua…
柯尼格斯函数
在数学中， 柯尼格斯函数是用于复分析和动力系统中的一种函数。法国数学家加布里埃尔·泽维尔·保罗·科尼格斯于1884年引入了此函数，该函数作为复数中单位圆盘内的单叶函数的扩张，或单位圆盘内的映射组成的半群的扩张，给出一个规范表示。 柯尼希斯函数的存在性与唯一性 令D为复数中的单位圆盘，设D上有全纯函数f:D\to D，固定点0，其中不等于0且不是D的自同构（即由SU(1,1)中矩阵定义的莫比乌斯变换）。 由可知， 使得每个由|z| |f(…
克拉莫-克若尼關係式
克喇末-克勒尼希關係式（）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。 公式定義 給定一複數變數\omega的複值函數{\chi(\omega)} = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)，其中…
截半黑塞二十七面體
{{Infobox polyhedron | name = 截半黑塞二十七面體 | polyhedron = 黑塞二十七面體 | imagename = Complex_polyhedron_3-3-3-4-2.png | caption = 投影到實二維空間的平行投影 | Type = 複正多面體 | original = 黑塞二十七面體 （截半） | Coxeter_diagram = 、. | Face = 54 | FaceT …
拉普拉斯逆变换
在数学中，函数F(s)的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数f(t)，满足如下性质： : \mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s), 其中，\mathcal{L}表示拉普拉斯变换。 可以证明：如果函数F(s)具有拉普拉斯逆变换f(t)，则f(t)唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。 因其具有的许多…
定義域著色
。 色調表示其函數值的輻角，而飽和度和明度表示其函數值的絕對值，這種上色方式又稱為色相環法]] 。 以上色網格和等值線的方式來呈現。]] 在複分析中，定義域著色是一種可以將複變函數可視化的一個資訊視覺化技術，是藉由在定義域上以色彩表示其函數值來表達函數圖形的方法，故稱為「定義域」著色。「定義域著色」一詞由法蘭克·菲莉絲（）在1998年左右時命名。其上色方法有很多種，最常見的是色相環複變函數圖形，以其輻角值對應色相的顏色來上色，亦有使用其…
伯格曼空间
在复分析、泛函分析和算子理论中，伯格曼空间（）是指在复平面的某个区域 D 内的全纯函数空间，这些函数在边界处足够良好，以至于它们是绝对可积的，该空间以斯蒂芬·伯格曼（Stefan Bergman）的名字命名。具体来说，对于，伯格曼空间 是指在区域D内所有范数有限的全纯函数所组成的空间： : \|f\|_{A^p(D)} := \left(\int_D |f(x+iy)|^p\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)^…
色相環複變函數圖形
上對應複數的色相環複變著色，上色方式是依據文字描述的第一種定義：零是黑色、-1為紅色、1是青色、無限大為白色]] 色相環複變函數圖形是一種複變函數圖形的呈現方式，是一種飽和度固定為最飽和，將色相表示函數值的輻角、明度表示函數值的絕對值來表達複變函數的定義域著色方法，這種方法又稱為色相環法（）。 歷史 使用色相環法的定義域著色早在1980年代末就已被拉里·柯榮（）和漢斯·隆達馬克（Hans Lundmark）首先使用。但與之相關的其他的複…
二项式级数
二项式级数是二项式定理的推广，适用于幂不是正整数的情况： {{NumBlk|:|\begin{align} (1+x)^\alpha &= \sum_{k=0}^\infty \!\binom\alpha k x^k \\ &= 1 +\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots \end{alig…
向量丛
向量叢(vector bundle)也翻譯成向量-{束}-，是数学，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 X（X 可以是拓撲空間、流形或代数簇）的每一點指定(或"黏上")一個向量空间(比如 \mathbb{R}^n)，而这些向量空间“粘起来”又构成一個新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是，X×\mathbb{R}^n，另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切丛(tangent bundle)：对流形的每…
主值
在数学領域（特別是複分析領域）中，多值函數的主值（）是指從函數的主分支選出，使其為單值函數的值。最簡易的例子是正數的平方根。4有兩個平方根：2和−2，其中將正根2視為主值，因此將此定義為\sqrt{4}。 以下主要會探討複變函數下的主值。 動機和目的 考慮複對數函數，定義為滿足下式的複數 :e^w = z. 假如想要找到，就要求解 :e^w = i 裡的w，i\pi/2是一個解。 不過，上式的解不唯一，考慮在复平面裡的位置，以及其輻角。…
施瓦茨-克里斯托费尔映射
在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔映射（）是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。 定义 考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一…
主分支
数学上，多值函數的主分支是選擇函數的部份區域，使其成為單值函數。大多數是針對定義域在複平面上的函數。 例子 反三角函數 主分支常用在反三角函数的定義上，可能會選擇 :\arcsin:[-1,+1]\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] 或是 :\arccos:[-1,+1]\rightarrow[0,\pi]. 分數幂次的指數 另一個比較熟悉的主分支，且限定在實數的，是次…
施拉姆-勒夫纳演进
在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限。 应用 Uniform spanning tree, 自避行走 普遍性 (物理学) 施拉姆-勒夫纳进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限 统计力学模型 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下 共形场论 勒夫纳演变 D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。 γ 是D…
梅林变换
在数学中，梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换，与双边拉普拉斯变换有密切关联。梅林变换定义式如下： :\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx. 而其逆变换为 :\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^…
超函数
超函数（）是一全纯函数从一处边界上向另一全纯函数的“跳跃”，可以看作分布的推广。超函数由佐藤幹夫于1958年提出。 实轴上的超函数可以看成是上半平面上的全纯函数与下半平面的全纯函数之间的“差异”。因而超函数可以用(f,g)对来定义，其中f是上半平面的一个全纯函数，g则是下半平面的一个全纯函数。 当用另一全纯函数分别加到f与g上时，f与g间的“差异”并不受影响。因而，令h是复平面上的一全纯函数，超函数(f,g)和(f+h,g+h)是等价的…
複分析
複分析（）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学领域和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。 复变函数 ，分形]] 複变函数，是自变量和因变量皆为複数的函数。更确切的说，複變函数的值域与定义域都是複數平面的子集。在複變分析中，自变量又称为函数的“宗量”。 …
曲线积分
在数学中，线积分（）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。當被積函數是純量函數時，积分的值是積分路径各点上的函数值乘上該點切向量的長度，在被积分函数是向量函数时，積分值是積分向量函数与曲线切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲线积分与一般区间…
洛朗级数
在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数（），是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由皮埃尔·阿方斯·洛朗在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。 函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出： :f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n 其…