在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔映射（）是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。
定义
考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面
: \{ \zeta \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\,\zeta > 0 \}
到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为\alpha,\beta,\gamma, ...，那么映射由下式给出：
:
f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-a)^{1-(\alpha/\pi)}(w-b)^{1-(\beta/\pi)}(w-c)^{1-(\gamma/\pi)} \cdots} \,\mbox{d}w
，
其中K是常数，a 是\zeta平面的实轴上的点的值，对应z平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。
为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当\zeta平面的无穷远点映射到z平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为\alpha的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进K裡。
例子
考虑z平面中的半无穷带。这可以视作顶点是P=0, Q=\pi i和R的三角形，当R趋向无穷大的极限情形。极限时有\alpha=0和\beta=\gamma=\pi/2。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是
: f(\zeta) = \int^\zeta
\frac{K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}} \,\mbox{d}w \, 。
计算积分得到
: z = f(\zeta) = C + K \operatorname{arccosh}\,\zeta,
其中C是个（複）积分常数。条件f(-1) = Q和f(1) = P给出C=0和K=1。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是 z = \operatorname{arccosh}\,\zeta。下图描绘这个映射。
其它简单映射
三角形
到内角为\pi a，\pi b和\pi(1-a-b)的三角形的映射是
:z=f(\zeta)=\int^\zeta \frac{dw}{(w-1)^{1-a} (w+1)^{1-b}}。
正方形
从上半平面到正方形的映射是
:z=f(\zeta) = \int^\zeta \frac {\mbox{d}w}{\sqrt{w(w^2-1)}}
=\sqrt{2} \, F\left(\sqrt{\zeta+1};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
，
其中F\,是第一类不完全椭圆积分。
广义三角形
施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。
参看
- 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。
参考
- Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.
- Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
- Darren Crowdy，[http://www.ma.ic.ac.uk/~dgcrowdy/_publications/PubFiles/Paper-20.pdf]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.
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