在数学中，如果在某个集合X上定义的具有实数或复数值的某个函数f的值域是有界集合，则函数f被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数M>0，使得对于集合X中的所有x，都有|f(x)|\le M。有时，如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\le A，则函数f称为上有界的，A就是它的一个上界；如果对于集合X中的所有x，都有f(x)\ge B，则函数称为下有界的，B就是它的一个下界。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合\mathbb{N}。所以，一个数列f=(a_0,a_1,a_2,\ldots)
是有界的，如果存在一个数M>0，使得对于所有的自然数n，都有\left \vert a_n \right \vert \leq M。
例子
*由f(x)=\sin x所定义的函数f:R\rightarrow R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
函数f(x)=\frac{1}{x^2-1}（x不等于−1或1）是无界的。当x*越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, \infty)，则函数就是有界的。
*函数f(x)=\frac{1}{x^2+1}是有界的。
*任何一个连续函数f:[0,1] \rightarrow R都是有界的。
*狄利克雷函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
参见
- 有界集合
- 支撑集
- 一致有界
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