双边拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换是一種积分变换，其形式類似機率中的動差生成函數，双边拉普拉斯变换和傅立葉變換、梅林變換及單邊的拉普拉斯变换有緊密的關係。若ƒ(t)為實數t的實數函數或是複變函數，t可以為任意實數，則双边拉普拉斯变换可以用以下的積分表示： :\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt. 此積分為反常積分，此積分收斂若且唯若…
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共 20 篇文章
加伯–韋格納轉換
加伯–韋格納轉換（Gabor Wigner Transform）是一種時頻分析的工具，由加伯轉換（Gabor Transform）及韋格納轉換（Wigner Transform）兩種時頻分析工具所組合而成，加伯轉換根據丹尼斯·蓋博所命名，而韋格納轉換則是根據尤金·維格納，原名維格納·帕爾·耶諾所命名。加伯轉換是一窗函數為高斯函數的短時距傅立葉變換，由於傳統短時距傅立葉變換的窗函數常為一矩形函數，由於矩形函數的傅立葉變換為一個Sinc函數…
傅里叶变换
傅里叶变换（，，缩写：FT）是一种线性变换，通常定义为一种积分变换。其基本思想是一个函数可以用（可数或不可数，可数的情况对应于傅里叶级数）无穷多个周期函数的线性组合来逼近，从而这些组合系数在保有原函数的几乎全部信息的同时，还直接地反映了该函数的“頻域特征”。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。在现代数学理论中，傅里叶积分变换可以得到各种推广，并在分析学中有广泛应用，构成了調和分析这一数学领域。…
佩龙公式
在数学或更具体地，其分支解析数论中，佩龙公式（）源自德國數學家奥斯卡·佩龙，是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。 定理陈述 令 \{a(n)\} 为一算术函数，并令 : g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} 为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 \Re(s)>\sigma 一致收敛，那么佩龙公式为： : A(x) = {\sum_{n\le x}}' a(n) =\frac{1}…
連續小波轉換
进行连续小波变换]] 在数学中，连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种时频分析工具，通过让小波函数（Wavelet）的平移参数和尺度参数连续变化，提供信号的过完备表示。 函数x(t)在尺度a\in\mathbb{R^{+}}和位置b\in\mathbb{R}的连续小波变换表示为积分：X_w(a,b)=\frac{1}\, d\omega 为容许性常数，式中\hat{\cdot}表示傅里叶…
黎曼-刘维尔积分
数学上，黎曼-刘维尔积分（Riemann–Liouville integral）将定义域和值域均为实数集的实函数f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 与另一个同类型的函数 相关联，其中参数 。该积分是的重复反导数（原函数）的一种推广形式，当为正整数值时， 就是的阶反导数。黎曼-刘维尔积分以伯恩哈德·黎曼和约瑟夫·刘维尔的名字命名，后者于1832年首次考虑分数微积分的可能性。 当应用于解析函数时，该算符…
希爾伯特轉換
在数学和信号处理中，希尔伯特变换（）是一个对函数 u(t) 产生定义域相同的函数 H(u)(t) 的线性算子。 希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 u(t) 的解析表示。这就意味着将实信号 u(t) 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。 例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和分析。等价地说，它是奇异积分算子与的一个例子。 希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与…
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏轉換，其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有實數变量 t(t \ge 0) 的函數轉換為一個变量為複數 s 的函數： :F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,\mathrm{d}t. 拉氏變換在大部份的應用中都是對射的，最常見的 f(t) 和 F(s) 組…
拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换
拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换得名于皮埃尔-西蒙·拉普拉斯与汤姆斯·斯蒂尔吉斯，是与拉普拉斯变换相似的积分变换。对于实值函数，其是斯蒂尔吉斯量的拉普拉斯变换，但通常是为在巴拿赫空间中取值的函数定义的。它在许多数学领域中都有应用，如泛函分析和概率论。 实值函数 实值函数g的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换由下列形式的勒贝格-斯蒂尔切斯积分给出： :\int e^{-sx}\,dg(x) s为复数。与通常的拉普拉斯变换不同，根据积分域不同，得到的变换也不…
星标变换
在应用数学中，加星标变换（）是一种离散时间的拉普拉斯变换的变形，之所以如此命名是因为采样信号的惯常表示中使用星号。加星标变换作用在连续时间函数 x(t)上，变换为 X^(s) 有以下公式: X^(s)=\mathcal{L}[x(t)\cdot\delta_T(t)]=\mathcal{L}[x^(t)] \delta_T(t) 即是狄拉克δ函数在多周期的形式狄拉克梳状函数(Dirac comb function)。 加星标变换是一种边…
拉普拉斯逆变换
在数学中，函数F(s)的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数f(t)，满足如下性质： : \mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s), 其中，\mathcal{L}表示拉普拉斯变换。 可以证明：如果函数F(s)具有拉普拉斯逆变换f(t)，则f(t)唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。 因其具有的许多…
投影切片定理
在数学上，二维情况下的投影切片定理（）（或称中心切片定理，、傅里叶切片定理，）表明以下两个运算的结果相等： 将二维函数f\left(\mathbf{r}\right)先投影到一维的线上（即进行拉东变换），并对投影结果进行傅里叶变换。 对相同的函数先进行二维傅里叶变换，然后通过平行于投影线的原点对其进行切片。 以算子形式表示，令： F_1和F_2分别为一维和二维傅里叶变换算子 P_1为投影算子（即将二维函数投影为一维的线） S_1为切片算…
梅林变换
在数学中，梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换，与双边拉普拉斯变换有密切关联。梅林变换定义式如下： :\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx. 而其逆变换为 :\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^…
傅里叶分析
傅立叶分析 是數學中的一種研究方法，主要研究一般函数如何用更简单的三角函数之和来表示，而分解过程又被称为傅里叶变换。傅里叶分析源于人們对傅里叶级数的研究。傅里叶分析以约瑟夫·傅里叶的名字命名。 参考文献
常數Q轉換
在数学和信号处理中，常數Q轉換（,CQT）和变Q转换（,VQT）将信号变换到频域，與短時距傅立葉轉換一樣為重要時頻分析工具。其与傅里叶转换相关，与复莫莱小波密切相关，并適用於音樂信號的分析，這個轉換產生的頻譜最大的特色是在於頻率軸為對數標度（log scale）而不是線性標度（linear scale），且窗口長度（window length）會隨著頻率而改變。 常数Q转换由一系列以对数尺度分布在频域的滤波器fk,构成，其中第k个滤波器…
积分变换
積分變換（integral transform）是數學中作用于函数的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換、拉普拉斯變換等。 概述 以一變數為 t 的函數 f(t) 為例，f(t) 經過一積分轉換 T 得到 Tf(u)： : (Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt 其中 K 是个确定的二元函数, 稱為此積分變換的核函數（kernel function）或核（…
漢克爾變換
汉克尔变换是指对任何给定函数 f(r) 以第一类贝塞尔函数 J_{\nu}(kr) 作无穷级数展开，贝塞尔函数 J_{\nu}(kr) 的阶数不变，级数各项 k 作变化。各项 J_{\nu}(kr) 前系数 F_{\nu} 构成了变换函数。对于函数 f(r), 其 \nu 阶贝塞尔函数的汉克尔变换（k 为自变量）为 :F_{\nu}(k)=\int_{0}^{\infty}f(r)J_{\nu}(kr)rdr 其中，J_{\nu} 为阶…
二維傅立葉變換
傅立葉轉換（英语：Fourier transform）是一種幫助我們分析訊號頻域成分的積分變換，詳細內容詳見傅立葉轉換一文。一般教科書所教的通常是一維的傅立葉轉換，但我們也可以將傅立葉轉換推廣到多維的空間。而二維傅立葉轉換即是由一維傅立葉轉換推廣而來，近幾十年來常被運用在影像處理上。其他相關的數學工具，例如二維餘弦轉換、二維濾波器……等等，均是建立在二維傅立葉轉換的概念上而得到的。 二維傅立葉級數 考慮一個信號二維的信號，s(t_1,t…
傅里叶正弦、余弦变换
在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。 定义 方程 的傅里叶正弦变换，有时也被表示为 {\hat f}^s or {\mathcal F}_s (f) ，有 : 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt. :或 : \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \int_{…
菲涅爾轉換
菲涅爾轉換是線性標準轉換的一個特例，廣泛應用在光學領域上，主要在描述電磁波於近場區域在空氣中傳播的狀況，他也可以藉由克希荷夫繞射公式去做近似而得到。若是一個遠場傳遞的電磁波，則比較類似夫朗和斐繞射公式。對於一個近場的電磁波，我們可以用菲涅爾數去觀測其性質。菲涅爾數只要遠遠大於一的時候，就代表此繞射波是處於近場。菲涅爾繞射積分式我們可以使用下述的近似去推導(後面章節也有較為完整的描述)，可以寫成以下式子： : \frac{F\theta^…