在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。
定义
方程 的傅里叶正弦变换，有时也被表示为 {\hat f}^s or {\mathcal F}_s (f) ，有
: 2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt.
:或
: \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \int_{0}^\infty f(t)\sin(\omega t) \,dt.
如果 代表时间，那么 就是单位时间周期内的频率，但抽象来说，它们可以是互相关联的任何一对变量。
这个变换必须是频率的奇函数，即对所有的 ：
: {\hat f}^s(\omega) = - {\hat f}^s(-\omega).
傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有
norm of \tfrac{1}{\sqrt2}.
方程 的傅里叶余弦变换，有时也被表示为 {\hat f}^c 或 {\mathcal F}_c (f)，有
:2 \int_{-\infty}^\infty f(t)\cos(2\pi \omega t) \,dt.
这个变换必须是频率的偶函数，即对所有的 ：
:{\hat f}^c(\omega) = {\hat f}^c(-\omega).
一些著者仅定义了 的偶函数的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：
: 4 \int_0^\infty f(t)\cos(2\pi \omega t) \,dt.
相似地，如果 是奇函数，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：
:4\int_0^\infty f(t)\sin(2\pi \omega t) \,dt.
傅里叶逆变换
按照通常的假设，原始方程 可以从变换形式中复原。即 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设，参见傅里叶逆变换。
逆公式是：
: f(t) = \int _0^\infty {\hat f}^c \cos (2\pi \omega t) d\omega + \int _0^\infty {\hat f}^s \sin (2\pi \omega t) d\omega,
它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。
用余弦的变换公式，可以再表示为：
: \tfrac{\pi}{2} \left(f(x+0)+f(x-0) \right ) = \int _0^\infty \int_{-\infty}^\infty f(t) \cos ( \omega (t-x) ) dt d\omega,
这里 表示 当 从上方趋近于零的一边极限。且 表示 当 从下方趋近于零一边的极限。
如果原始方程 是偶函数，那么正弦变换就为零；如果 是奇函数，那么余弦变换就为零。在任何一种可能中，逆变换方程都可以化简。
与複指数的关系
如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是
:\begin{align}
\hat{f}(\nu) &= \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-2\pi i\nu t}\,dt \\
&= \int_{-\infty}^\infty f(t)(\cos (2\pi\nu t) - i\,\sin (2\pi\nu t))\,dt && \text{Euler's Formula} \\
&= \left (\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos(2\pi \nu t) \,dt \right ) - i \left (\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin(2\pi \nu t) \,dt \right )\\
&= \tfrac{1}{2} {\hat f}^c (\nu) - \tfrac{i}{2} {\hat f}^s (\nu)
\end{align}
相关条目
*离散余弦变换
*离散正弦变换
参考
- Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
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