函數的平均
函數的平均可以粗略定義成函數在其定义域裡的平均。 一维空间 一维空间下，函數在區間裡的平均定義如下 \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx. 上述定義可以用以下方式論證：數字y_1, y_2, \dots, y_n的平均值\bar{y}可以定義如下n\bar{y} = y_1 + y_2 + \cdots + y_n。換句話說，\bar{y}是一個常數，相加n次後的和，會等於y_1, \dots, y…
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共 27 篇文章
無窮小量
無窮小量（）或无穷小单元（infinitesimal element）、微分单元（differential unit）、微元，旧称不可分量（indivisible），指“趋近于零的变量”或“微小的线性切片”，是“无穷分割、化曲为直”數學分析中的一個基本极限概念。 無窮小量对于直觀上「最終會消失的量」或“不可再分的最小单位”等的非正式描述，做了嚴格的数学极限刻畫。 在經典微積分與數學分析中，無窮小量通常通過函數、序列等對象的極限過程來表述…
佩龙公式
在数学或更具体地，其分支解析数论中，佩龙公式（）源自德國數學家奥斯卡·佩龙，是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。 定理陈述 令 \{a(n)\} 为一算术函数，并令 : g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} 为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 \Re(s)>\sigma 一致收敛，那么佩龙公式为： : A(x) = {\sum_{n\le x}}' a(n) =\frac{1}…
以2為底的對數
在数学中，以为底的对数（），又称二进制对数，是为了得到 必须将乘方的指数。 即对于任何实数 ， :x = \log_2 n \Leftrightarrow 2^x = n 例如，，，，。 以为底的对数是以为底的指数函数的反函数，又记作 ， 或 许多数学软件都有计算以为底的对数的功能。自C99起的C语言标准数学函数库和自C++11起的C++语言标准数学函数库中包含了 log2、log2f 及 log2l 函数用来计算以为底的对数。以为底的…
變數
在数学、物理学中，变数（）又称-{zh-cn:变数;zh-tw:變量;zh-hk:變數}-，是表達式或公式中，没有固定的值而可以变动的数或量；該数或量可以是隨意的，也可能是未指定或未定的。表示变数的字母，统称为变元、元，即变元是一个用来表示值的符号。在初等數學中，也以未知数、未知量代称变数。 在语-{}-义上，变-{}-数（变-{}-量）相对于常数（常-{}-量）。变-{}-数（量）强调因果与依存关系；一个（自变）变了，另一个（因变）跟…
积分符号内取微分
积分符号内取微分（，也译作莱布尼茨积分法则）是数学中微积分领域的一项常用运算技巧，主要用于求解含有参数的定积分的导数。该法则阐明了在满足一定连续性和可微性条件的情况下，可以将求导运算平滑地移入积分符号之内，从而大大简化计算过程。 定义 给定如下含有参数 $x$ 的积分： :F(x, a(x), b(x))=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt 若在区间 \,x_0\leq x\leq x_1\, 上，函数 f(x,t…
微积分学
微積分學（）或微分积分学，简称微积分，主要包括微分學和積分學两个部分，是研究極限、微分、積分和無窮級數等的一個數學分支。本質上，微積分學是一門研究连续變化的學問。 微積分學在科學、商學和工程學領域皆有廣泛的應用，並成為了現代大學教育的重要组成部分，用於有效解决一些僅以代數學和幾何學無法處理的問題。 微積分學於代數學和幾何學的基礎上建立，其中微分是指函數的局部變化率的一種線性描述，包括求導數和其運算，即一套關於變化率的理論。它使得函數、速…
海涅定理
海涅定理，得名于德国数学家爱德华·海涅，在数学分析中连接了函数极限和序列极限。该定理表明函数极限的存在性和值可被刻画为所有收敛到那个点的序列的极限。反过来，序列极限的条件也可以用来求取函数极限。因此，函数极限的很多性质可从对应的序列极限性质导出。 特别地，这个定理包括两部分： 正面陈述：设 f 为一函数，令 a 为 f 定义域的极限点（聚点）。若 \lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L, 则对每一个收…
时标微积分
在数学中，时标微积分（）是差分方程和微分方程的一种统一。时标微积分最初由德国数学家Stefan Hilger发明，应用于需要同时包含离散和连续的情况的模型的领域中。它为导数赋予了新的定义，使得如果你对定义在实数中的闭区间上的函数进行求导，就等价于通常意义上的导数；然而如果你将这种新定义的导数作用于定义在整数集上的函数，则它就等价于前移差分算子。 动力方程 关于微分方程的很多结果能够轻而易举地延伸到差分方程中相对应的结果，然而其他的一些结…
连续函数
连续函数（）是指函数在数学上的属性为连续。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续函数，或者说具有不连续性。非连续函数一定存在间断点。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续…
托里拆利小號
托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。 數學定義 這個曲面是由y=1/x（x的域為x \ge 1）的曲線沿x軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导： …
奇函數與偶函數
在數學裡，偶函數（）和奇函數（）是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要，特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件：若n為一偶數，則函數x^n是偶函數，若n為一奇數，則為奇函數。 偶函數 設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有在f的定義域內的x都成立： :f(x) = f(-x) 幾何上，一個偶函數會关于y軸對稱，亦即其圖像在對y軸為轴对称後…
极限
极限可以指： 數學 极限 (数学) 函數極限 数列极限 網 (數學) 极限 (范畴论) 极限点 上极限和下极限 流行文化 極限 (專輯)，徐佳瑩的專輯 Limit 界限，末延景子的漫畫作品 極限運動
拟连续函数
在数学中，拟连续函数（Quasi-continuous function）的概念类似于但弱于连续函数的概念。所有连续函数都是拟连续的，但反过来一般不成立。 定义 设 X 为拓扑空间。实值函数 f:X \rightarrow \mathbb{R} 在点 x \in X 处称为拟连续的，若对于任意 \epsilon > 0 和任意包含 x 的开邻域 U ，存在非空开集 G \subset U ，使得 |f(x) - f(y)| 注意在上述定…
周期函数
在数学中，周期函数是無論任何独立变量上經過一个确定的周期之后数值皆能重复的函数。我们日常所见的钟表指针以及月亮的月相都呈现出周期性的特点。周期性运动是系统的运动位置呈现周期性的运动。 对于实数或者整数函数来说，周期性意味着按照一定的间隔重复一个特定部分就可以绘制出完整的函数图。如果在函数f中所有的位置x都满足 :f(x + T) = f(x) 那么，f就是周期为T的周期函数。非周期函数就是没有类似周期T的函数。 如果周期函数f的周期为T…
极值
在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。 定义 局部（相对）最大值：如果存在一个\varepsilon >0，使得所有满足|x-x^{}|的x都有f(x^{})\geq f(x)，我们就把点x^{}对应的函…
数列极限
数列極限（）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。 定義 {{math theorem |name=極限的定義 |math_statement= 取一复数數列 {\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}，若有一複數 z \in \C ，使得 :「对于任意的正实数 \epsilon > 0，存在自然数 n \in \N ，使得任意的自然数 i \in \N，只要 i > n，則 |…
一致连续
-{zh:一致連續;zh-hans:一致连续;zh-hant:均勻連續}-又稱-{zh:均勻連續;zh-cn:均匀连续; zh-tw:一致連續}-，（），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 f(\cdot) 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近，我們就可以讓 f(x) 跟 f(y) 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：f(x) 跟 f(y) 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇。 一致连续是比连续更…
一致收斂
均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。 定義 當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb{C} 時，此時均勻收歛的定義為： 讓 (f_n)_{n \in \N}…
魏尔施特拉斯逼近定理
斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間(X, \tau)上的實數連續函數C(X, \mathbb{R})能夠被較小的函數集逼近的條件。 定義 對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})，我們定義 \mathcal{A}是一個代數 (algebra) 如果\mathcal{…