均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。
定義
當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb{C} 時，此時均勻收歛的定義為：
讓 (f_n)_{n \in \N} 是定義在 S 上，對應域為 \R 或
\mathbb{C}的一組函數序列，若序列 (f_n)_{n \in \N} 均勻收歛至函數
f 在集合 S 上，即表示對所有 \epsilon > 0，存在
N \in \N，使得當所有 n \geq N 且 x \in S 時有
: |f_n(x) - f(x)|
可將這定義推廣到一般的度量空間：
設 S 為一集合，(M,d) 為度量空間。若對一組函數序列 f_n: S \to M，存在函數 f: S \to M 滿足
對所有 \epsilon > 0，存在 N \in \N，使得當所有 n \geq N 且
x \in S 時有
:d(f_n(x), f(x))
則稱序列 f_n 一致收斂到 f。
注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 N的選取仅与 \epsilon 相关，而在逐点收敛中 N 还多了与點 x 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。
例子
[[File:ThWeierstrass.png|thumb|300px|在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列]]
例子一：對任何[0,1]上的連續函數f，考慮多項式序列
: P_n(x):= \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right){n \choose k} x^k(1-x)^{n-k}
可證明P_n在區間[0,1]上一致收斂到函數f。其中的b_{k,n}(x):= {n \choose k} x^k(1-x)^{n-k}稱為伯恩斯坦多項式。
透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。
例子二：考慮區間[0,\pi]上的函數序列f_n(x):= \sin^n(x)，它逐點收斂到函數
: f(x) = \begin{cases}0 &, x \neq \pi/2 \\ 1 &,x = \pi/2 \end{cases}
然而這並非一致收斂。直觀地想像：當x愈靠近\pi/2，使f_n(x)接近0所需的n便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中f_n(x)皆連續，而f(x)不連續。
性質
讓 (f_n) 為一組函數序列，對應域為 \R 或 \mathbb{C}，此時有下述性質：
- 連續性：若函數序列 (f_n) 均勻收歛至函數 f，則有：
:#假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 I，且 a 是 I 的中的一點。若每個 f_n 都在 a 點連續，則 f 也在 a 點連續。
:#若对集合 I 的每個緊緻子集 J，每個 f_n 都在 J 上連續，則 f 在 I 上連續。
- 與積分的交換：令 (f_n) 為定義在緊緻區間 I 的函數序列，且序列 (f_n) 均勻收歛至函數 f。若每個 f_n 都是黎曼可積，則 f 也是黎曼可積，而且
:\lim_{n \to \infty}\int_S f_n\mathrm{d}x = \int_S f\, \mathrm{d}x.\quad\quad
- 與微分的交換：可微函數序列 (f_n) 均勻收歛至函數 f，並不能保證 f 是可微的，還需要對該函數序列的微分，(f'_n)，做些限制，請參看以下定理：
: 讓 (f_n) 為定義在閉區間 [a,b] 的可微函數序列，且存在一點 x_0\in[a,b] 使得極限 \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) 存在（且有限）。若序列的微分 (f'_n) 在區間 [a,b] 一致收斂到函數 g，則序列 (f_n) 均勻收歛至函數 f 且 f 亦是可微函數，且有：
: f' = g = \lim_{n\to \infty} f'_n。
注释
文獻
- Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
- G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156（1918）
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X
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