极限 (数学)
极限（）是函数在自變量無限變大或無限變小或在某個區間時所接近的值，也是數學分析或微積分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势（序列極限），或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势（函數極限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 概念 数列极限 以数列a_n = \frac{1}{n}为例，直觀上随着n的增大，a_n越来越接近0，于是可以…
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共 12 篇文章
随机变量的收敛
概率论中有若干关于随机变量收敛（Convergence of random variables）的定义。研究一列随机变量是否会收敛到某个极限随机变量是概率论中的重要内容，在统计概率和随机过程中都有应用。在更广泛的数学领域中，随机变量的收敛被称为随机收敛，表示一系列本质上随机不可预测的事件所发生的模式可以在样本数量足够大的时候得到合理可靠的预测。各种不同的收敛定义实际上是表示预测时不同的刻画方式。 简介 正如一个数列可能收敛到某个极限量，…
逐點收斂
[[File:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|函数序列 fn(x) = (sin x)ⁿ 在区间 [0, π] 上的逐点收敛。图中连续的绿色曲线序列逐点趋于不连续的红色极限函数（在 π/2 处值为 1，其余为 0）。这证明了逐点收敛不一定保持函数的连续性。]] 逐點收歛也稱點態收斂（，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分…
绝对收敛
绝对收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。一个数项级数或一个积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值（或范数）後仍然收敛或可积。比如，一个实数项或复数项级数 \sum_n a_n绝对收敛当且仅当\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| 。某个函数f(x)的广义积分或瑕积分\int_I f(x) \mathrm{d}x是绝对收敛的，当且仅当取绝对值或范数後的函数的积分收敛：\int_I |f(…
测度收敛
测度收敛是测度论中的一个基本概念，在概率论、泛函分析及数理统计等领域中具有重要应用。设在某一可测空间上给定一个测度 \mu，并考虑一列定义在同一空间上的测度 \mu_n 。随着 n 的增大， \mu_n 的性质与 \mu 越来越相似。 “越来越相似”和一般的序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 \varepsilon>0 ，只要 N 充分大， 对于任何 n \geqslant N ， \mu_n 和 \mu 之间的“差别”小于 \…
几乎收敛序列
倘若有界实序列(x_n)在每个巴拿赫极限下都得到同一个值L(x_n)，则称其为几乎收敛（）到L的。 洛仑兹证明了，序列(x_n)几乎收敛当且仅当 :\lim\limits_{p\to\infty} \frac{x_{n}+\ldots+x_{n+p-1}}p=L 关于n一致成立。 上述极限具体可写为 :(\forall \varepsilon>0) (\exists p_0) (\forall p>p_0) (\forall n) \l…
緊緻收斂
在數學上，緊緻收斂（）或是稱作緊緻集上的均勻收斂（）是一種由均勻收斂的想法上推廣之後的收斂性質。這種收斂性質與緊緻開拓樸有相關。 定義 讓(X, \mathcal{T})是一個拓樸空間而且(Y,d_{Y})是一個賦距空間。一個函數列 f_{n} : X \to Y, n \in \mathbb{N} 被稱作緊緻收斂到函數f : X \to Y 如果說對所有在X的緊緻集合K 有 f_{n}|_{K} \to f|_{K} 均勻收斂。這也代…
柯西序列
在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列（），也称为基本列，是指一个元素随着序数的增加而愈发靠近的数列，以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。 柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的…
一致收斂
均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。 定義 當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb{C} 時，此時均勻收歛的定義為： 讓 (f_n)_{n \in \N}…
条件收敛
条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。 详细定义 条件收敛的级数 给定一个实数项无穷级数A = \sum_{n} a_n，如果它自身收敛于一个定值C \in \mathbb{R}： : \sum_{n=1}^\infty a_n = C, 但由每一项的绝对值构成的正项级数：A_s…
无条件收敛
在数学中，一个级数\scriptstyle \sum_{i \in \mathcal{I}} a_i无条件收敛于一个特定值\beta，是指对任意小的差别\epsilon，都会存在\scriptstyle \mathcal{I}中的一个子集\scriptstyle \mathcal{S}，使得对所有的包含\scriptstyle \mathcal{S}的集合\scriptstyle \mathcal{T}，里面的元素加起来的和与\beta…
收敛半径
收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义 定义幂级数f 为：f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,。其中常数a是收敛圆盘的中心，cn为第n个複系数，z为变量。 收敛半径r是一个非负…