收敛半径

收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义
定义幂级数f 为：f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,。其中常数a是收敛圆盘的中心，cn为第n个複系数，z为变量。

收敛半径r*是一个非负的实数或无穷大（\scriptstyle \infty），使得在|z-a| 时幂级数收敛，在|z-a| > r时幂级数发散。

具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数\sum c_n z^n满足\lim_{n \to \infty} \left \vert {c_{n+1} \over c_n} \right \vert = \rho，则：
:

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：
:R=\liminf_{n\to\infty} \left|c_n\right|^{-\frac{1}{n}}
:或者\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|c_n\right|^{\frac{1}{n}}。

复分析中的收敛半径
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：
:一个中心为a的幂级数f 的收敛半径R 等于a与离a 最近的幂级数无定义点的距离。到a 的距离严格小于R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
:f(z)=\frac{1}{1+z^2}
没有复根。它在零处的泰勒展开为：
:\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数f(z)在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。
简单的例子
三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数：

:\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子
考虑如下幂级数展开：

:\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n

其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得
:e^z-1=0
的复数z。设z = x + iy，那么
:e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)),\,

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有y = k\pi，其中k \in Z \ , \ k \neq 0 。同时得到x=0。回代后发现k只能为偶数，于是使得分母为零的z为2k\pi i的形式，其中k \in Z \ , \ k \neq 0 。

离原点最近距离为2\pi，于是收敛半径为2\pi。

收敛圆上的敛散性
如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足 |z − a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例1:函数ƒ(z) = (1 − z)−1在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数g(z) = ln(1 − z)在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z)是 -g(z)的复导数。

例3:幂级数
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n

的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z後的导数。h(z)是双对数函数。

例4:幂级数
:P(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\cdot n}(z^{2^{n-1}} + \cdots + z^{2^n-1})
的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

收敛速率
将下列函数在x = 0处展开：

:f(x)=\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \ \forall x

可以看到收敛半径为\scriptstyle\infty，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在x = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于ƒ(10)，需要18项，对于ƒ(100)则需要141项。

可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。

图例
考虑亚纯函数f(z)=\frac{1}{1+z^2}，对应的模长二元函数图像见右。函数在z=\pm i处有极点。

由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 |z|。

狄利克雷级数的收敛度规
与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的收敛度规，也就是使得级数\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s}收敛的最小的s，其只依赖于数列an。

参见
*无穷级数
*幂级数
*阿贝尔定理
*阿贝尔型定理和陶伯型定理
*哈代-李特爾伍德圓法
*收敛度规

参考来源
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外部链接
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